積分の計算

質問

1/(x^2-4)^1/2の積分の仕方が全くわかりません。計算過程も教えていただけると助かります。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

定義域は|x|≧2
偶関数の積分なので
x＜-2の場合はx=-x'とおいて考えればよい。
x＞2で考える。

高校数学範囲なら
u/2=x+√(x^2-4)（u＞0）とおいて置換積分する。
du/2=(1+x/√(x^2-4))dx=(x+√(x^2-4))dx/√(x^2-4)=(u/2)dx/√(x^2-4)
dx/√(x^2-4)=du/u
∫dx/√(x^2-4)dx=∫du/u=ln(u)+C=ln(x+√(x^2-4))+C　...(※1)

大学数学範囲なら
x=2cosh(t)とおいて置換積分する。
dx=2sinh(t)dt, 1/(x^2-4)^(1/2)=(1/2)/sinh(x)
∫1/√(x^2-4) dx=∫dt=t+c=cosh^-1(x/2) +C　...(※2)

x＜-2の場合は
(※1)=-ln(-x+√(x^2-4))+C
(※2)=cosh^-1(-x/2)+C
となります。

なお、(※1),(※2)は同じ関数の別表現です。

回答No.1

151A48

log|x+√(x^2-4) |
を微分してみよ。