(e^x)^i と （e^i)^x は同じもの？

質問

全くわからないのですが、考えるヒントをいただければ幸いです。

回答No.6

noname#199771 · ベストアンサー

複素べきで考えると

(e^x)^i
=exp{ilog(e^x)}
=exp{i(log|e^x|+iarg(e^x)}
=exp{i(x+i(2nπ))}
=exp(-2nπ+ix)
（nは整数）

(e^i)^x
=exp{xlog(e^i)}
=exp{x(log|e^i|+iarg(e^i)}
=exp{x(0+i(1+2mπ))}
=exp(ix(1+2mπ))
（mは整数）

となります。

直接「答え」を求めようとせず参考URLの3.4、3.5
あたりをご覧になることをお勧めします。

参考URL：

http://fujimac.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/Mathematics-2/Ch3.pdf

お礼

勉強したいと思っております。ご教示ありがとうございます。

回答No.7

ramayana

そうですね、ANo.6さんのとおり、(e^x)^i　と　（e^i)^x　は、枝全体が一致するわけでないので、完全に等しいとは言えなそうです。

お礼

枝という概念があるこも全く知らなかったのですが、少しでもわかるように勉強したいと思います。サイドの御教示ありがとうございます。

回答No.5

178-tall

ANo.1 です。

>右辺も左辺もどんなものかイメージが全くわかないのですが、同じものなのですね。

複素指数関数でも「指数法則」が成立するなら、(e^x)^i = e^(xi) だろう、ということ。

ANo.3 さんのコメントの記法なら、お判りでしょう。

お礼

指数法則から勉強をしてみます。ご教示ありがとうございます。

回答No.4

ramayana

「オイラーの公式をガウス空間に表示した場合でも意味が同じということになるのでしょうか。」

「オイラーの公式をガウス空間に表示」というのがどういう状況を指しているのかピンとこないので、期待される答かどうか分かりませんけど。次の式は、x が虚数でも成立します。

　　exp(ix) = cos(x) + isin(x)

お礼

勉強させていただきます。ご教示ありがとうございます。

回答No.3

ORUKA1951

指数法則からも同じ
(x^a)^b = x^(a*b) = x^(b*a) = (x^b)^a

お礼

指数法則に従うのですね。ご教示ありがとうございます。

回答No.2

ramayana

累乗をどう定義するかによりますが、同じと考えていいのでは。

αを0以外の複素数、βを複素数として、α^βを

　　α^β = exp(βlog(α))

で定義することにします。すると、(e^x)^i　と（e^i)^x　は、どちらもxの多価関数になりますが、枝（branch）全体が一致するという意味で、同じ関数とみなすことができます。

お礼

ご教示どうもありがとうございます。オイラーの公式をガウス空間に表示した場合でも意味が同じということになるのでしょうか。

回答No.1

178-tall

(e^x)^i = e^(xi)
(e^i)^x = e^(ix)

…が成り立つだろうと考えれば、「同じもの」に見えますけど？

お礼

ｇ教示相賀とうございます。右辺も左辺もどんなものかイメージが全くわかないのですが、同じものなのですね。

補足

お礼欄の誤植お詫び申し上げます。