E(X^2)を求めるには？

質問

問題背景として「指数分布」です。

E(X)=1/λ
とヒントが与えられています。

このヒントだけで
E(X^2)=???
を求めたいのですが、どうすれば求められるのでしょうか？

ここで、教えてgooのルールとして自分の判断を載せないと、質問を削除されると書いてあったので、私の見解を述べると、ただ単純に1/λ^2じゃダメでしょうか？

これ以外に考えが思い浮かばないのですが・・・。

こんな私を納得させてくれる回答を期待して待っております。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

E(X^2)は確率変数Xの二乗の平均のことで、二次モーメントと呼ばれたりします。これは必ずしも平均の二乗に一致するとは限りません。というか一致しないことがほとんどすべてです。これを求めるには、通常、その確率変数の確率分布を知らないといけません。ですが、いまの場合、指数分布というのがわかっていて、なおかつ、平均が1/λと与えられています。このとき指数分布の密度関数（確率分布）は、
f(x)=λe^{-λx},(x>0)
になります。これは暗記事項です。こういうことはここで聞くよりもまず基本的なことを教科書等でおさらいしてから考えたほうが理解も進むと思いますが、一般に(確率)密度関数f(x)に従う確率変数が与えられたとき、そのX^2の期待値は、
∫x^2f(x)dx
を計算したらいいんです。直感的な意味を言っておくと、確率密度というのは、確率変数Xが値xの近くを取る確率です。X^2の期待値を計算したいのだから、X=xのときの値x^2とその確率f(x)をかけて、xのとりうるすべての場合について足し算（この場合は指数分布だから0～∞まで積分）したらいいですよね。ちなみにE(X^2)は1/λ^2ではありません。実際に計算して確かめてみてください。高校レベルの積分計算です。部分積分を何回か使ってやるのが標準。ガンマ関数を知っているともう少し簡単に計算する方法もありますが、それはちょっと上級者向けです。

補足

部分積分２回使ったのですが・・・答えが２となりました。

これって明らかにおかしいですよね？

できれば途中式はいらないので、答え教えてくれませんか？

回答No.3

at9_am

指数分布ならばパラメータが一つですから、平均が分かれば分散が分かっているはずです。また分散は
var(x) = E(x^2) - [E(x)]^2
から
E(x^2) = var(x) + [E(x)]^2
となります。

因みに、平均値が０であれば分散と二乗の期待値は一致します。また、分散が０であれば(そうなると確率変数ではなくなるが)、二乗の期待値と平均値の二乗は等しくなります。

回答No.2

adinat

うーん。おしいですね。どっかで係数がおっこちちゃったんじゃないかと。2/λ^2になるはずです。もう一度計算をやってみてください。ちなみに指数分布の分散は1/λ^2になります。