標準正規分布

質問

X,Yが標準正規分布N(0,1)に従うときX^2＋Y^2はパラメータ1/2の指数分布にしたがうことをしめせ。という問題なのですが自分が考えたのはつまりX,Yがe^(-x^2/2)/ルート(2π)に従うのでこれを２乗してたしあわせばよいのかと思ったら違うみたいです。。。「従う」というのをどう利用したらよいのかわかりません。

回答No.5

masuto84

従うとはどのような分布になるかです
どのような分布になるかとは
どのような確率密度関数になるかです
確率密度関数とは分布関数の微分が定義ですので
まず分布関数を調べなくてはいけません
また分布関数とは値が0<xの間となる確立P(x)のことです

ではX^2+Y^2がZ以下となる確率を考えます
X^2+Y^2がZ以下となるには
|X|がZ以下かつ|Y|がZ-X^2以下でなければいけません

また正規分布の確率密度関数はご存知のとおり
e^(-x^2/2)/ルート(2π)ですので
よってこの確立P(z)は
∫_(|x|<Z)∫_(|Y|<Z-X^2)e^(-x^2/2)/√(2π)×e^(-y^2/2)/√(2π)dydx
と確率密度関数を掛け合わせてZ以下となる積分範囲で積分しなければなりません
少し整理して
＝∫_(|x|<Z)∫_(|Y|<Z-X^2) (e^-(x^2+y^2)/2)/2π
これを計算するのはそのままでは難しいので
X^2+Y^2=R^2　と聞けばすぐに思いつくx=rcosθ　y=rsinθで変数変換します

するとdxdy=rdrdθとなり
積分範囲は0<r^2<z,0<θ<2π
先ほどの二重積分は
＝∫_（r<√Z）∫_（θ<2π) e^-（r^2/2) /2π rdθdr
θで積分して
＝∫_（r<√Z） e^-（r^2/2) rdr
r^2=ｔと変数変換しすると
2rdr=dt
積分範囲はt<Z
よって
＝∫_（t<Z） e^-（t/2) /2 dt
=e^-(z/2)
よって分布関数は↑になります
これを微分すると
1/2e^-(z/2)となり
パラメータ1/2の指数分布となります

回答No.4

zk43

補足ですが、
Xの積率母関数φXとは、
φX(t)＝E(exp(tX))
のことです。（exp(tX)の平均。tは実変数）
X+Yの積率母関数φX+Yは、
φX+Y(t)=E(exp(t(X+Y)))=E(exp(tX)・exp(tY))
=E(exp(tX))・E(exp(tY))
=φX(t)・φY(t)
と分解されるので、X、Yそれぞれの積率母関数を
計算すれば良いです。
もちろん、XとYは独立であることが前提です。
（ちなみに、逆にE(XY)=E(X)E(Y)だからといってX、Yが独立
とはいえません。）

積率母関数はn回微分してt=0とすれば、X^nの平均が
求められます。（これが名前の由来。n回微分するとEの中身が
X^n・exp(tX)になる。微分するたびにXがどんどんでてくる
イメージ。正確にはテイラー展開を考える。）

積率母関数が同じなら、同じ確率密度関数を持ちます。

回答No.3

guuman

Z=X^2+Y^2の分布をP(z)とし密度をp(z)とすると
z≦0でp(z)=0
以下0<zとする

P(z)=∫∫dxdy・exp(-(x^2+y^2)/2)・h(z-x^2-y^2)/2/π
p(z)=P'(z)=
=∫∫dxdy・exp(-(x^2+y^2)/2)・δ(z-x^2-y^2)/2/π
=∫[0<r]dr・2・π・r・exp(-r^2/2)・δ(z-r^2)/2/π
=∫[0<r]dr・r・exp(-r^2/2)・δ(z-r^2)
=∫[0<s]ds・exp(-s/2)・δ(z-s)/2
=exp(-z/2)/2

h:ヘビサイド関数
δ:デルタ関数

回答No.2

zk43

確率変数XがN(0,1)に従うとき、X^2は自由度１のカイ２乗分布に
従います。
また、カイ２乗分布は和に関する再生性があるので、自由度mのカイ２
乗分布に従う確率変数Xと、自由度nのカイ２乗分布に従う確率変数Yの
和X+Yは自由度m+nのカイ２乗分布に従います。
したがって、X,YがN(0,1)に従うとき、X^2、Y^2はともに自由度１
のカイ２乗分布に従い、X+Yは自由度２のカイ２乗分布に従います。
自由度２のカイ２乗分布はパラメータ1/2の指数分布です。
（教科書で実際の式を確認してしてください。いろいろな分布の
確率密度関数が載っていると思います）

証明は、まず、分布関数F(x）＝P（X≦x）を考えて、これを微分して
確率密度関数を求めるという手法でわかります。
和に関する再生性については、積率母関数を利用するとわかりやすい
と思います。

確率変数Xがある確率分布に従うということは、その分布の確率密度
関数f、分布関数Fを持つということです。
すなわち、P（X≦x）＝F(x）になるということです。

お礼

ありがとうございます。考えてみたのですがまずP(X^2+Y^2≦z)＝∫∫φ(x)φ(y)dxdyをだせばいいんですかね？？でも積分の範囲がよくわかりません。。。xかyを固定するんかな。。。

回答No.1

Mr_Holland

難しく考えなくていいと思います。

　単純に、XとYは標準正規分布に従うので、
　　f(X)＝1/√(2π) exp(-X^2/2)
　　f(Y)＝1/√(2π) exp(-Y^2/2)
　両辺を掛け合わせて、
　　f(X)f(Y)＝1/(2π) exp{-(X^2+Y^2)/2}
　⇔πf(X)f(Y)＝1/2 exp{-1/2・(X^2+Y^2)}

　この右辺と、指数分布の確率密度関数 λexp(-λt)とを見比べると、
　　t=X^2+Y^2, λ=1/2
となっていることがわかるので、「X^2+Y^2はパラメータ1/2の指数分布に従っている」ということです。