2つの正規分布が合わさる？問題

質問

2集団における得点分布は、平均だけ異なる正規分布N(50,100)、N(55,100)にしたがうとする。これの集団から得られた得点をそれぞれ、X、Yと表すとき、平均の小さい方が大きくなる事象、つまり、前者の方が後者より得点が大きい、X>=Yとなる事象の確率を求めよ。

という問題なのですが、自分で調べたところ、2つの独立な正規分布から作った線形結合、aX+bYも正規分布に従うらしい・・・ということはわかったのですが、イマイチどのように利用すればいいのかがわかりません。どなたかご教授よろしくお願いします。

回答No.3

Ishiwara · ベストアンサー

統計量Ｙ－Ｘは、Ｎ（５,２００）に従います。
ところが、数表に「いろいろな場合」を全部書いていたらたいへんですから、分散が１（つまり標準偏差が１）の場合しか載せてありません。
そこで、統計量（（Ｙ－Ｘ）÷√２００）の分布を考えると、これは
Ｎ（５÷√２００,１）に従います。このような変換を「正規化」といいます。あとは、数表で５÷√２００の点に対応するパーセントを探せばいいわけです。具体的な表引きは、ご自分でお願いします。

お礼

とても助かりました。ありがとうございました。

回答No.2

zk43

間違い
Z=X-YはN(-5,200)に従う、でした。
E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)
V(aX+bY)=a^2V(X)+b^2V(Y)（X,Yが独立のとき。Vは分散を意味する）
正規分布には再生性と呼ばれる性質がある。
X,Yが独立でともに正規分布に従うとき、aX+bYも正規分布に従う。

お礼

とても助かりました。ありがとうございました。

回答No.1

zk43

Z=X-YはN(-5,100)に従うので、Z≧0の確率を計算すればよい。
標準化して、W=(Z+5)/10はN(0,1)に従うので、W≧0.5の確率を計算
すれば良い。
計算実行は難しいというかできないので、分布の表から数値を調べれば
良いと思います。