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2つの正規分布が合わさる?問題

 2集団における得点分布は、平均だけ異なる正規分布N(50,100)、N(55,100)にしたがうとする。これの集団から得られた得点をそれぞれ、X、Yと表すとき、平均の小さい方が大きくなる事象、つまり、前者の方が後者より得点が大きい、X>=Yとなる事象の確率を求めよ。 という問題なのですが、自分で調べたところ、2つの独立な正規分布から作った線形結合、aX+bYも正規分布に従うらしい・・・ということはわかったのですが、イマイチどのように利用すればいいのかがわかりません。どなたかご教授よろしくお願いします。

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  • ベストアンサー
  • Ishiwara
  • ベストアンサー率24% (462/1914)
回答No.3

統計量Y-Xは、N(5,200)に従います。 ところが、数表に「いろいろな場合」を全部書いていたらたいへんですから、分散が1(つまり標準偏差が1)の場合しか載せてありません。 そこで、統計量((Y-X)÷√200)の分布を考えると、これは N(5÷√200,1)に従います。このような変換を「正規化」といいます。あとは、数表で5÷√200の点に対応するパーセントを探せばいいわけです。具体的な表引きは、ご自分でお願いします。

flytosk
質問者

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とても助かりました。ありがとうございました。

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その他の回答 (2)

  • zk43
  • ベストアンサー率53% (253/470)
回答No.2

間違い Z=X-YはN(-5,200)に従う、でした。 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y) V(aX+bY)=a^2V(X)+b^2V(Y)(X,Yが独立のとき。Vは分散を意味する) 正規分布には再生性と呼ばれる性質がある。 X,Yが独立でともに正規分布に従うとき、aX+bYも正規分布に従う。

flytosk
質問者

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  • zk43
  • ベストアンサー率53% (253/470)
回答No.1

Z=X-YはN(-5,100)に従うので、Z≧0の確率を計算すればよい。 標準化して、W=(Z+5)/10はN(0,1)に従うので、W≧0.5の確率を計算 すれば良い。 計算実行は難しいというかできないので、分布の表から数値を調べれば 良いと思います。

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