なぜe^x にiを代入してもいいのですか？

質問

オイラーの公式を導く指数関数e^xの級数にiを代入することは一致の定理があるので問題ないとにごされたのですが、具体的になぜもんだいないのでしょうか？　eではなくて整数にiをかけても計算できるのでしょうか？　わかりやすくおしえてもらえませんか？

回答No.4

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

ｅ^x　＝　Σ[n=0→∞] ｘ^n／ｎ！
　＝　１／１　＋　ｘ／１　＋　ｘ^2／２　＋　ｘ^3／６　＋　・・・

となりますが、
これは元々、ｘを実数として、ｅ^x がｘについて微分できることを前提としていたものです。
ですから、
べき級数展開ができるから、ｘに虚数を代入してもよい、という考え方ですと、
ｅ^x の導関数である ｅ^x 自身のｘに虚数を代入してもよいと言っていることになりますね。
ということは、ｅ^x が複素関数として考えてよいということを言っていることになるので、ふりだしに戻ってしまいます。

私は、こう解釈しています。
（実用面での役立ち度に重点を置きます。）

１．
位置（もしくは道のり）　＝　速度×時間
という式は、元々、道のり、速度、時間がすべて正の数であることを前提としていた。
しかし、
・負の道のりや速度を定義することにより、逆方向に進む状態を表せる。
・負の時間を定義することにより、現在より前の時刻における位置を表せる。
・速度と時間がともに負であるとき、逆方向に進行するものの過去の位置が正の座標で表せる。
・だから、（－１）×（－１）＝　＋１　とすれば便利。
便利だから、位置、速度、時刻、負の数同士の掛け算を定義する価値があるということです。

２．
５^4＝６２５、５^3＝１２５、５^2＝２５
すると、べき乗が１個減るごとに５分の１になっているようだから、
５^1＝５、５^0＝１、５^(-1)＝０．２、５^(-2)、・・・
とするのが自然。
年利ａ％の定期預金で、現在の残高がｂ円であるとき、現在をｎ年として、
残高　＝　現在の残高×（１＋ａ）^n
と表せば、ｎが負であるときの残高、すなわち、「|ｎ|年前の残高」が計算できる。便利。
さらには、
３年５ヶ月前ならば、ｎ　＝　－３　－　５／１２
と計算できます。
便利だから、負のべき乗や整数以外のべき乗を定義する価値があるということです。

３．
ｘに複素数 ａ＋ｂｉ を代入してもよいとして考えると、
ｅ^(a+bi)　＝　ｅ^a・ｅ^(bi)
　＝　ｅ^a・｛cosｂ　＋　ｉ・sinｂ｝
となるので、
三角関数の計算（特に微積分）をするとき、複素関数としての　ｅ^x　を用いるほうが計算が楽になることが多々ある。
（たとえば、物理における単振動の計算や、工業高校で習う交流回路の計算など）
やはり便利。
便利だから、虚数のべき乗を定義する価値があるということです。

＞＞＞具体的になぜもんだいないのでしょうか？

その逆で、
ｉを入れたらどうなるかを試して、それが便利だからということが一つ。
それから、
上述したとおり、ｅ^(ib)　は三角関数との関係がありますから、
ｂについて周期が２πの、周期関数になります。
ですから、
ｅ^(ib)　＝　定数
の解は一意に決まらず、２π間隔で無限とおりあります。
しかし、周期関数であることに注意して利用するならば、なんら問題はないのです。

＞＞＞eではなくて整数にiをかけても計算できるのでしょうか？

上述した　ｂ　が、あなたのおっしゃる「整数」に該当します。
ｂは整数で問題ないですし、小数でも分数でも大丈夫です。

以上、ご参考になりましたら幸いです。

お礼

ありがとうございました！

回答No.3

zk43

実数関数としての指数関数e^xは、
e^x=1+x+x^2/2+x^3/3!+x^4/4!+…（-∞<x<∞）
とテイラー展開されます。
これの類似で、複素関数としての指数関数e^zを、
e^z=1+z+z^2/2+z^3/3!+z^4/4!+…（zは複素数）
として定義します。
右辺は複素数の四則演算なので、計算できます。
級数なので、収束することを証明しなくてはなりませんが、
任意の複素数に対して収束することが証明できます。
（複素数の数列の収束は、複素平面での点列の収束と考えれば、
イメージしやすいと思います。）
このように定義された複素関数としての指数関数に対して、
e^(ix)=1+(ix)+(ix)^2/2+(ix)^3/3!+(ix)^4/4!+…
として計算されます。
すると、右辺はcosとsinのテイラー展開が出てきて、
e^(ix)=cosx+i・sinx
となります。
特に、x=πとすれば、有名な、
e^(iπ)=-1
となります。

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

arrysthmia

複素指数関数を定義する方法はイロイロあります。
微分方程式 dy/dx = y の解とか、
積分 x = ∫dy/y の逆関数とか、
ベキ級数 y = Σ[k=0→∞] (x^n)/(n !) とか…
ともあれ、このように定義した複素関数を y = exp x と書くと、
x が実数のとき、exp x は、実関数 e^x に一致しています。
実数上で実解析関数に一致する複素正則関数はひとつしかない
ことが知られていますから、exp x のことを e^x と書いても
混乱は生じません。よって、e^x 自体を複素関数とみなしても
よいのです。

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

phyonco

xやx^2にiを代入するのは抵抗ない？だったらe^xをべき級数で展開したら？
e^xは収束半径無限大だからね。

お礼

ありがとうございました！