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積分の問題
∫1/(x^2+2x+a)dx (aは定数) 場合分けをして、a>1.a=1は出来たのですが、 a<1の解き方が分かりません。 教えていただけると嬉しいです。 よろしくお願いいたします。
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>「場合分け」が何やら奇っ怪。 |a| < 1 |a| = 1 |a| > 1 のほうがわかりやすそうな気配…を感じたもんで、要らざるグチでした。 蒙御免。
- 178-tall
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a < -1 だと、分母の零点が (非実数) 共役対 {d, d*} になりそうなので…、 d = α+iβ, d* = α-iβ とでもして、 1/{ (x-d)(x-d*) } の原始関数? このままじゃ視界不良。多少の無理は承知の上、複素数を経由する勘定でも…。 まず、1/[ {(x-α)-iβ}{(x-α)+iβ} ] の部分分数表示、 { 1/(2iβ) } [1/{(x-α)-iβ} + 1/{(x-α)+iβ} ] から、その原始関数は、 { 1/(2iβ) } LN[ {(x-α)-iβ}/{(x-α)+iβ} ] ↓ {(x-α)-iβ}/{(x-α)+iβ} = e^-2i*arctan{β/(x-α) } を代入 = {1/(2iβ) } [-2i*arctan{β/(x-α) } ] = {1/(2β) } [-arctan{β/(x-α) } ] = {1/(2iβ) } [2i*arctan{(x-α)/β} ] = {1/(2β) } [arctan{(x-α)/β} ] …みたいな調子?
- 178-tall
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「場合分け」が何やら奇っ怪。 とりあえず、-1 < a < 1 、つまり分母二次式が相異なる 2 実根を持つ場合…でも。 二次式の零点 {p1, p2} がダブっていなければ、 f(x) = 1/{ (x-p1)(x-p2) } = { 1/(p1-p2) }{ {1/(x-p1) } - {1/(x-p2) } ] と展開して、 原始関数は、 { 1/(p1-p2) } LN| (x-p1)/(x-p2) |
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