積分の問題

質問

∫1/(x^2+2x+a)dx (aは定数)

場合分けをして、a>1.a=1は出来たのですが、
a<1の解き方が分かりません。
教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いいたします。

回答No.3

178-tall

>「場合分け」が何やら奇っ怪。

　|a| < 1
　|a| = 1
　|a| > 1

のほうがわかりやすそうな気配…を感じたもんで、要らざるグチでした。

蒙御免。

回答No.2

178-tall

a < -1 だと、分母の零点が (非実数) 共役対 {d, d*} になりそうなので…、
　d = α+iβ, d* = α-iβ
とでもして、
　1/{ (x-d)(x-d*) }
の原始関数？

このままじゃ視界不良。多少の無理は承知の上、複素数を経由する勘定でも…。

まず、1/[ {(x-α)-iβ}{(x-α)+iβ} ] の部分分数表示、
　{ 1/(2iβ) } [1/{(x-α)-iβ} + 1/{(x-α)+iβ} ]
から、その原始関数は、
　{ 1/(2iβ) } LN[ {(x-α)-iβ}/{(x-α)+iβ} ]
　　　　　　　↓　{(x-α)-iβ}/{(x-α)+iβ} = e^-2i*arctan{β/(x-α) } を代入
　= {1/(2iβ) } [-2i*arctan{β/(x-α) } ] = {1/(2β) } [-arctan{β/(x-α) } ]
　= {1/(2iβ) } [2i*arctan{(x-α)/β} ] = {1/(2β) } [arctan{(x-α)/β} ]

…みたいな調子？

回答No.1

178-tall

「場合分け」が何やら奇っ怪。

とりあえず、-1 < a < 1 、つまり分母二次式が相異なる 2 実根を持つ場合…でも。

二次式の零点 {p1, p2} がダブっていなければ、
　f(x) = 1/{ (x-p1)(x-p2) } = { 1/(p1-p2) }{ {1/(x-p1) } - {1/(x-p2) } ]
と展開して、
原始関数は、
　{ 1/(p1-p2) } LN| (x-p1)/(x-p2) |