積分の問題が解けません＞＜

質問

∫{0→1}(x^2+x+1)^(a/2)dx　（aは定数）

この積分がどうやって解けばいいのかわかりません。
よろしければ解答をお願いします。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

#3です。

参考URLがうまくリンクが貼れていないようなので一般的な場合の積分結果をえる手順を再掲します。

数式処理サイト
http://www.wolframalpha.com/
で
「integrate((x^2+x+1)^(a/2),x,0,1)」
と入力して実行して見て下さい。
「Computation timed out. Experimental feature: Try again with more time »」
と出ますので、「Try again with more time」の部分をクリックすれば
積分結果を「超幾何関数(Hypergoemetric function)」
http://mathworld.wolfram.com/HypergeometricFunction.html
を使って求めてくれます。

定数aを限定してaの特別な場合については初等関数を使って積分できることはA#3で述べたとおりです。

お礼

ありがとうございます．とても助かりました．

aは数値入力ではなく出来れば記号として式を解きたかったので，この結果を参考にしたいと思います．
まだ超幾何関数の理解が間に合っていませんが^^;

数式処理のサイトがあることも初めて知ったので，今後役立てていきたいと思います！
本当にありがとうございました．

回答No.3

info22_

aを実数の範囲として一般解を解くなら超幾何関数を使うことになります。
参考URL
「http://www.wolframalpha.com/input/?_=1316566022167&i=integrate%28%28x^2%2bx%2b1%29^%28a%2f2%29%2cx%2c0%2c1%29%3b&fp=1&incTime=true」

aは定数とするだけでは場合分けして解かざるを得ません。
簡単に解ける場合に限定するか、そういう場合を除外するなどして
本来積分したい場合のaの値を限定すれば超幾何関数を使わないで積分が求められたりします。

a=0の場合 積分=1
a=1の場合 積分=(1/8)){6√3-2+ln(5+(26/9)√3)}=1.33691
a=2の場合 積分=11/6=1.83333
a=3の場合 積分=(1/256){396√3-68-27log(3)+54arcsinh(√3)}=2.57557
a=4の場合 積分=37/10=3.7
a=-1の場合 積分=arcsinh(√3)-arcsinh(1/√3)=0.767652
a=-2の場合 積分=π/(3√3)=0.6046
a=-3の場合 積分=(2/3)(√5 -1)=0.488034
など

a=1/3の場合だと超幾何関数を使ったり、数値積分を使わないと積分できませんが　
積分=1.09846
などとなります。

このようにaを定数というだけの条件づけすするなら、一般的な積分を求めることが複雑になります。

回答No.2

s1013129

訂正です。失礼。

1行目
×　(x^2+2x+1)^(1/2)=t-x
○　(x^2+x+1)^(1/2)=t-x

お礼

丁寧なご回答ありがとうございました．

置換を使う手計算ではとても煩雑になり解ける気がしなかったので質問させていただきましたが，
この方法で解けるなら嬉しい限りです．
頑張って解いてみたいと思います．

回答No.1

s1013129

(x^2+2x+1)^(1/2)=t-x

と置くパターンは試しましたか？

両辺を2乗すると　x=(tの式)　と表せます。
ここでdx=(tの式)dtを求めます。
その後、xをt-xに代入し、
(x^2+2x+1)^(1/2)=(tの式)
で表して置換します。
ルートが取れてtのみでうまく表せますから、
あとは有利関数の積分として解けばよいだけです。