断面積が長方形の回転体

質問

一辺の長さが２の正四面体LのABの中点をM、CDの中点をNとして、
MNの周りに一回転してできる立体Kの体積を求めよという問題についてです。

AB、CD、MNがどの２つも垂直であることを利用して、
Mを原点にして、A（0,1,0）B(0,-1,0)N(√2,0,0)という風に空間を定めて、
対称性を利用して、ｘ=ｔ　（０≦ｔ≦１/√2)でLを切ると
断面が長方形になりますよね。
これを点(t,0,0)周りに回すとKの断面積になると思うんですけど、
なんで、これがただの円ではなく、円をくりぬいた形になるんですか？

回答No.3

151A48 · ベストアンサー

図をかけば分かると思うのですが・・・，言葉で説明すると難しい。
斜辺だけ回せば，ｘｙ平面上だと，確かに，，半径１の円から半径１／√２　の円を抜いた形ですが，両サイドの辺（これは三角柱の面上にある）も回って，これによる円の中にすべてが含まれます。

お礼

問題文にABCDの表面を回してとありましたので、解決です。
回答有難うございました。

回答No.2

151A48

実は私もこの手の問題をやったとき引っかかって，人に教えてもらったのです。
この問題では回転軸が切断面の外周の長方形の中央にあります。
あなたが例としてあげておられる三角柱の回転では，回転軸が直角三角形の直角の頂点を通っているので，中味が詰まっていようが，いまいが，回転させれば関係ないことになります。
ちょっと意地悪な問題。私が採点するなら，間違っていてもいくらか部分点をあげちゃいます。

補足

すいません。まだ分かりません。
どうして回転軸が直角三角形の直角の頂点を通っていると、中身が関係なくなるのでしょうか。

中身が詰まってたら、断面における直角三角形の斜辺を回したものは単純な円になり、
中身が詰まってないとしたら、直角三角形の斜辺による円から、底辺を回した円をくりぬいた
断面になるんじゃないですか。

回答No.1

151A48

四面体というとき，囲む面だけあって，中身は詰まっていない張りぼてと解する。
「四面体で囲まれた領域」とはなっていない，

補足

回答ありがとうございます。
一般に適当な立体Aを回してできた立体の体積を求める時って、「立体で囲まれた領域を回してできた立体」と言ってなければ、立体を中身の無いものと考えて回して体積を求めるってことですか？
それとも、この問題が特別な例なのですか？

例えば、A（1,0,0)B(0,1,0)C(0,0,1)Oを原点として、三角柱OABCをZ軸周りで回してできる立体の体積と
三角形ABCをZ軸周りで回してできる立体の体積は違うものだとしか僕は感じないのですが。