コンクリートの圧縮強度試験の問題について

質問

圧縮強度の試験結果が正規分布を示し、圧縮強度の平均値が36.0N/mm2、標準偏差が3.0N/mm2であるコンクリートに関する次の記述のうち、不適当なものはどれか。
(1)　3回の試験結果の平均値が36.0N/mm2を下回る確率は、ほぼ50%である。
(2)　1回の試験結果が31.1N/mm2を下回る確率は、ほぼ5%である。
(3)　3回の試験結果の平均値が30.0N/mm2を下回る確率は、ほぼ2%である。
(4)　1回の試験結果が27.0N/mm2を下回る確率は、ほぼ0%である。

という問題をやっています。コンクリート技士試験の問題だと思うのですが、問題集などに載っている問題と出題の仕方が違っていて、どのような計算をしていいのかわかりません。
よければ使う計算式だけでも教えていただきたいです。よろしくお願いします。

回答No.1

foomufoomu

正規分布の確率分布の話です。コンクリートと直接関係なくて、統計の分野なので技術系の人にはなじみのないことだと思います。
次の最初のグラフを見れば、答えはわかります。
http://www.weblio.jp/content/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%88%86%E5%B8%83
このグラフは、例えば、一番左の0.14%と書かれた部分は、m-3σ= 36.0-3*3.0=27.0 N/mm2より小さい強度のものは全体の0.14％であることを表しています。

普通は、「正規分布の場合、ｍ±3σの範囲にほぼ100%、ｍ±2σの範囲に全体の約95%、ｍ±σの範囲に全体の約70%が含まれる」と覚えておけば十分なのですが、この問題は、かなりひねってますねぇ。何も資料がなければ、私も答えられないでしょう。

(1) は平均値なので、50%なのは当然。
(2) 31.1≒m-1.63*σであることから、グラフの13.59%の範囲を直線と考えると、確率は0.14+2.14+13.59*(1-0.63)=7.3% ちょっと微妙なところ。ほんとは前のリンクの2番目の解説の式を計算すべきですが。
(3)後で説明します。
(4) 最初に「例えば・・・」と書いた数字と同じで、0.14％をほぼ０とみれば、正しい。

(3) はｎ個抽出した場合の式
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/statistics/sample1.htm
これの○１ によりσ'=σ/√n=3.0/1.73=1.73
30.0≒m-3.5*σ'=となって、確率分布はほぼ0%

この問題、(2),(3)のどちらも2%ぐらいの違いなので、どちらをとるか迷うところですが、
(3)は１回の試験結果が30.0を下回る確率が0.14+2.14=2.28％(約2%)なので、「3回の試験」の場合は間違い。とするべきかと思います。