微分方程式

質問

x^3・(dx/dt)+ax=b
x：変数、他は定数です。

xについて解を求めるにはどうすればよいですか？

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

＞ すいません。dx/dtの箇所は時間の二回微分でした。

(x^3)(d^2x/dt^2) + ax = b　ですかね。
回答が付いてから問題を変えるのは、感心しないが…

d^2x/dt^2 = (b-ax)/x^3
の両辺に dx/dt を掛けてから t で積分する。(俗称「エネルギー積分」)
(1/2)(dx/dt)^2 = ∫{ (b-ax)/x^3 }dx
より、右辺は積分容易で、
dx/dt = ±√(C - b/x^2 + 2a/x)　　; Cは定数
と変形できる。

現れた微分方程式は変数分離形だから、
dt/dx = 1/{ ±√(C - b/x^2 + 2a/x) } を x で積分する。
t = D ± ∫{ |x|/√(Cx^2 + 2ax - b) } dx　　; Dは定数
となる。

この後、右辺の積分には、
± の選択、|x| の解消、√ の処理などのために
初期条件や a, b の具体的な値で場合分けが必要だが、
概ね、√の中身を
Cx^2 + 2ax - b = E(1 - (x-F)^2/G^2)　　; E,F,Gは定数
と平方完成して、
(x-F)/G = sin z で置換積分する方向となる。

E > 0 ならば、
t = D ± ∫{ (G/√E)(F + G sin z) } dz
と変形できて、右辺が積分できるが、
この式を x = … の形に変形することは、(D,E,F,Gの値にもよるが)
困難だろう。

回答No.2

noname#190065

x=cexp(-λt) ( c は定数)と置いて、b=0 の一般解を求め、特解を求めればよい。初期条件がないと、x(0)=C1, x '(0)=C2, x''( 0)=C2などと置いて求めることになる。また、λが実根または虚根かで場合分けもするので大変かもしれない。

回答No.1

spring135

x^3・(dx/dt)+ax=b

dx/dt=(b-ax)/x^3

x^3dx/(b-ax)=dt

(-1/a)x^3dx/(x-b/a)=dt

b/a=c,x-c=uとおくと

(-1/a)(u+c)^3du/u=dt

(u^2+3cu+3c^2+c^3/u)du=-adt

u^3/3+(3c/2)u^2+3c^2u+c^3logu=-at+d

これをx=u+cを用いてxとtの関係に書き直せば完了。

a,bの値によるが、一般的にはX=f(t)のような関係には書けない。

補足

回答ありがとうございます。

すいません。dx/dtの箇所は時間の二回微分でした。