非線形偏微分方程式の解法

質問

同じような質問を以前にしましたが添付画像の画質が悪かったので質問し直します。

質問が数式に関するものなのでTexで質問内容をまとめたので以下のリンクの参照をお願いします。
http://autolandtom.web.fc2.com/tex1.html

(1.4)式への変形の過程、α(du/dtの係数)の求め方についてよろしくお願いします。使える近似はE_0がE_cより僅かに大きいということと、θが微小ということです。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

Multiplying both sides in eqn(5.73) by sin(πz/d)
and integrateing over the thickness d,
とあるね。これが、意味不明だった (1.6)(1.7) の由来か。

言われた通りやってみると、
γ(du/dt) ∫[0,d]sin(πz/d)dz
= {A-K(π/d)^2} u ∫[0,d]sin(πz/d)dz - (2/3)A u^3 ∫[0,d]sin(πz/d)^3 dz
となる。(1.6)(1.7) を使って、
γ(du/dt) (2d/π)
= {A-K(π/d)^2} u (2d/π) - (2/3)A u^3 (4/3)(d/π).
ああそうか。u は z 非依存だから、積分すれば z が消せるのか。

{A-K(π/d)^2}(2d/π) = 2(d/π)(-Δε){(Ec)^2-(Eo)^2} と
(2/3)A u^3 (4/3)(d/π) = (8/9)(d/π)(-Δε)(Eo)^2 は
一致はしない。

論文のほうを見ると、(1.3) ではなく
φ(z,t) = ao u(t) sin(πz/d)　　　(5.74)
と置いているから、ao の値で調整すればよいのだろう。

実際、
(ao)^2 = {A-K(π/d)^2}(2d/π) / {(2/3)A u^3 (4/3)(d/π)}
= 2(d/π)(-Δε){(Ec)^2-(Eo)^2} / {(8/9)(d/π)(-Δε)(Eo)^2}
= (9/4){(Ec)^2-(Eo)^2}/(Eo)^2
と置けば、
γ (ao)(du/dt) (2d/π)
= {A-K(π/d)^2} (ao)u (2d/π) - (2/3)A (ao)^3 u^3 (4/3)(d/π)
は、
θ' (du/dt) = u - u^3
ただし θ' = γ/[(-Δε){(Ec)^2-(Eo)^2}]
と整理できる。

依然として、(1.3)(5.74) の由来がよく解らないんだけれども。

お礼

回答ありがとうございます。a0が重要だったんですね！
つまり論文中の(5.75)のwithのあとにあるθ'の表式は間違っているということですよね？

(1.3)(5.74)は境界条件をみたすものとしておいたのだと思われます。

回答No.7

alice_44

u が z 依存だと、φ を z で微分したとき
余分な項が出てくるから、質問の変形にゃならない。

回答No.6

stomachman

K((∂^2)φ/(∂z)^2) - ((E0^2)Δε)(φ - (2/3)(φ^3)) = γ(∂φ/∂t)
つまり
　　K((∂^2)φ/(∂z)^2) - ((E0^2)Δε)φ + (2(E0^2)Δε/3)(φ^3) = γ(∂φ/∂t)
ここで
　　φ= u(t) sin(πz/d)
とおいて
　　-K((π/d)^2)φ - ((E0^2)Δε)φ + (2(E0^2)Δε/3)(φ^3) = γ(∂u/∂t)sin(πz/d)
すなわち
　　-Pu + Q(u^3) = γ(∂u/∂t)
　　P = K((π/d)^2) + ((E0^2)Δε)
　　Q = 2(E0^2)Δε((sin(πz/d))^2)/3
このPとQが一致しないぞ、というのがご質問でござんしょう。

　Qにzがあり、Pにないんですから、このままじゃ一致するわけがないですよね。

　そこで、さらに
　　u(t) = A(z)U(z,t)
と変数変換しちゃどうでしょう。
　　-P(AU) + Q((AU)^3) = Aγ(∂U/∂t)
ここで
　　(A^2)(U^3) = P
となるようにAを取れば、
　　α= -γ/P
とおくとαは定数で
　　α(∂U/∂t) = U - U^3
Uはz,tの関数になってますが、この方程式はzを定数だと思って解けば良いからOK。

　という話なんじゃないかなあ？

お礼

回答ありがとうございます。
(1.3)においてΦ(z,t)=a_0u(t)sin(π/d z)という係数a_0が抜けていました。
申し訳ありません。

回答No.5

alice_44

なーんだ、
φ ∝ sin((定数)z) は、解く前から既知な訳ね。

偏微分方程式の「変数分離解」というのは、
変数分離形方程式の解という意味ではなくて、
各変数の一変数関数の積に分解できるという意味。
ここでは、φ(z,t) = u(t) f(z) のことだよ。

回答No.4

alice_44

一般解を得るのが難しい偏微分方程式で、
変数分離解 φ(z,t) = u(t) f(z) を求めてみる
ということは、よく行われるが…

質問では、f(z) = ao sin(πz/d) としている。
この部分が根拠を欠く。
境界条件 φ(0,t) = φ(d,t) = 0 からは
f(0) = f(d) = 0 が言えるだけで、何故そこで
sin が出てくるのかに、何の説明もない。

とりあえず、変数分離解の中でも特に
φ(z,t) = ao u(t) sin(πz/d) のものを考えてみる
というだけで、方程式からそれが導ける訳ではない。
そう置いてよいのか？ それが欲しい解なのか？ は、
論文の続きの部分で検証されるのだろうか？

その辺が、どうもスッキリしない。

お礼

論文中ではθの分布が微小角ではsin形になるからというような記述がありました。確かに変数分離で熱拡散偏微分方程式などは簡単に解けますが今回はθ^3という非線形項があるため変数分離で求めることはできないと思います。

θ'の論文中の表式は間違っているということでよろしいですよね？

回答No.2

alice_44

えー？

(1.3) を (1.2) ヘ代入すると、
γ(du/dt) = {A-K(π/d)^2} u - {(2/3)A sin(πz/d)^2} u^3
ただし A = (-Δε)(Eo)^2
だから、

α(du/dt) = u - u^3 には、ならんと思うな。
A-K(π/d)^2 = (2/3)A sin(πz/d)^2
が恒等式でないといけなくなるから。

(1.5) の Ec が Eo に近いことを使うにしても、
A-K(π/d)^2 = (-Δε){(Ec)^2-(Eo)^2}
が小さいことが言えるだけだから、
πz/d が小さいという近似になってしまう。

z/d が 0 に近いとこだけで解くのでは、
境界条件と話が噛み合わない。

そもそも (1.3) が、根拠の解らない胡散臭い式なんだけど、
他にも何かオカシナ仮定をしてるんじゃないの？

お礼

回答ありがとうございます。私も何度も計算しましたがなる気がしません。私が参考にした論文です。
http://autolandtom.web.fc2.com/text.html

HがE、χaが⊿εに対応します。ここではχa>0となっていますので符号が少し変わりますが大きな違いはないはずです。

回答No.1

rabbit_cat

計算は面倒くさくてやってられないのでしてないけど、
少なくとも、(1.3)を(1.2)に代入すれば、
uと、u^3と、du/dt、だけの線形結合の式になることは、ぱっと見でわかりますね。

(1.4)では、さらに、uの係数と、u^3の係数が、ちょうどマイナスの関係になっている、と言っていますが、本当にそうなるかは計算してないので分かりません。
なるっていってるんだから、多分、なるんでしょう。