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「空集合はすべての集合の部分集合である」の説明

忘れていた「空集合はすべての集合の部分集合である。」ということを、ふと思い出しました。 「はて、この証明は…?」ということで、考えたり、調べたりしたのですが、約束ごと(つまり定義)という説明があったり、論理学的に真理値表から導いていたりしていました。 高校の教科書では、「きまり」になっており、厳密な説明がなされていません。 わかりやすい、よい説明があれば教えてください。

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.1

『集合Aが集合Bの部分集合である』とは、その定義から、『どんなxについても、x∈Aならばx∈Bである』と等価です Aが空集合であれば、その定義から、どんなxについても、必ず『x∈A』は偽となります 命題『PならばQ』は命題Pが偽であれば命題Qの真偽にかかわらず真ですから、『x∈Aならばx∈Bである』も『x∈B』の真偽にかかわらず(すなわち、どんな集合Bについても)真になります

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質問者からのお礼

ありがとうございました。真理値表を使わない説明がありましたら、よろしくお願いします。

その他の回答 (3)

  • 回答No.4
  • jmh
  • ベストアンサー率23% (71/304)

例えば「x∈空集合⇒x∈y」の対偶は、「x∈yでない⇒x∈空でない」ですが、この証明として「x∈yでないとすると(x∈yであろうとなかろうと空の定義によって)明らかにx∈空でない」というのは良いですか?

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質問者からのお礼

……なるほど。対偶を使って証明するんですね。

  • 回答No.3
noname#24477
noname#24477

やはり約束事と考えたほうが良いですね。 (A∩B)⊂A は常に成り立ってほしいです。 空集合が入っていないと例外を作ってしまうことに なります。

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質問者からのお礼

わかりました。ありがとうございました。

  • 回答No.2

数学というのは個人個人の感覚や常識、信念といったものと無関係に成立する論理性を基盤とします そのために、証明抜きで使える約束事を定め、それらをすべての前提として証明を組み立てていきます 『真』、『偽』といった言葉を使わず、言い換えることは可能ですが、たとえ言い換えたとしても、証明の前提となる基本的な論理法則は、証明抜きで使わざるを得ないと思います 数学の証明の基本ルールだと考えましょう

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質問者からのお礼

そうですね。丁寧なご説明ありがとうございました。

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