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「空集合はすべての集合の部分集合である」の説明
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『集合Aが集合Bの部分集合である』とは、その定義から、『どんなxについても、x∈Aならばx∈Bである』と等価です Aが空集合であれば、その定義から、どんなxについても、必ず『x∈A』は偽となります 命題『PならばQ』は命題Pが偽であれば命題Qの真偽にかかわらず真ですから、『x∈Aならばx∈Bである』も『x∈B』の真偽にかかわらず(すなわち、どんな集合Bについても)真になります
その他の回答 (3)
- jmh
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例えば「x∈空集合⇒x∈y」の対偶は、「x∈yでない⇒x∈空でない」ですが、この証明として「x∈yでないとすると(x∈yであろうとなかろうと空の定義によって)明らかにx∈空でない」というのは良いですか?

お礼
……なるほど。対偶を使って証明するんですね。

やはり約束事と考えたほうが良いですね。 (A∩B)⊂A は常に成り立ってほしいです。 空集合が入っていないと例外を作ってしまうことに なります。

お礼
わかりました。ありがとうございました。
- Singollo
- ベストアンサー率28% (834/2935)
数学というのは個人個人の感覚や常識、信念といったものと無関係に成立する論理性を基盤とします そのために、証明抜きで使える約束事を定め、それらをすべての前提として証明を組み立てていきます 『真』、『偽』といった言葉を使わず、言い換えることは可能ですが、たとえ言い換えたとしても、証明の前提となる基本的な論理法則は、証明抜きで使わざるを得ないと思います 数学の証明の基本ルールだと考えましょう

お礼
そうですね。丁寧なご説明ありがとうございました。
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