空集合？？？

質問

全体集合の反対に、要素を１つも含まない集合{}を考え、空集合と呼び、記号φで表す。φは任意の部分集合であると約束する。
φ＝{}
この文のφは任意の部分集合の部分の意味がよくわかりません。
教えてください。

回答No.3

koko_u_u

集合 A, B に対して、A⊂B の定義は

「∀x(x∈A ⇒ x∈B)」

なので、特に A = φ ならばいかなる B に対しても φ⊂ B です。

つまり「約束」ではなく、当然の帰結です。

回答No.2

lialhyd

任意の集合、とは　どのような集合に関しても　という意味です。
正しくは「任意の集合について、φはその部分集合である」というべきではないかなと思いますが。

どのような集合についても、部分集合の1つとして絶対にφが含まれているという意味で捉えればよいかと思います。
たとえばA={1,3}の部分集合はφ,{1},{3},{1,3}です、といった具合に。

回答No.1

nag0720

＞この文のφは任意の部分集合の部分の意味がよくわかりません。

「部分」だけ取り出しても意味ないですよ。
「部分集合」で意味をもちます。

例えば、集合U={1, 2, 3 ,4}の部分集合には、
{1}, {2}, {1, 2}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}などがありますが、
{}=φ(空集合)もUの部分集合です。