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方程式
eatern27の回答
- eatern27
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#4です。 ＞|x-y|=｜ (1+86y)/11 ｜ はどうやってでてきたのですか？ 11x-97y=1を x=(1+97y)/11 と変形して、|x-y|に代入しただけです。 ＞11x-97y=1を満たす整数はすぐに見つかる方法がありますか？ 「すぐに」とまではいきませんが、少なくともx,yの係数が大きくて、具体的な数値を代入していたら、時間がかかる(かもしれない)という場合に有効な方法があります。それが、#4に書いたような方法です。 a,bは互いに素で、a>bとします。このとき、ax+by=1の整数解を求める方法を考えます。 まず、aとbが十分小さい時は、具体的に代入して考えていってもさほど苦労はしないので、具体的に代入して求めてください。例えば、5x+7y=1の整数解を１つ挙げろ、と言われたら、(x,y)=(3,-2)などが、すぐに思い浮かびますよね？ ですので、a,bが大きい場合について考えます。 aをbで割った時の商をq,余りをrとすると、 a=bq+r⇔r=a-bqとなります。 ここで、bx+ry=1の整数解が１つ求まって、その整数解を(n,m)とします。 そうすると、bn+rm=1となりますが、r=a-bqなので、 bn+(a-bq)m=1となります。これを変形すると、 am+b(n-qm)=1となりますが、m,n,qは整数なので、mとn-qmも整数です。 なので、(m,n-qm)はax+by=1の整数解の１つ、という事が分かります。 つまり、bx+ry=1の整数解が１つでも求まれば、ax+by=1の整数解も自動的に求まるということです。 なので、bx+ry=1の整数解を求めればいいわけですが、この式は最初のaの部分をbに、bの部分をrに置換えた式です。 だから、ax+by=1で行った議論がそのまま適用できます。 bをrで割った余りpとおくと、rx+py=1の整数解を求めればいいことが分かります。このように進めれば、 αx+βy=1のα,βに相当する部分が、いずれは十分小さくなるので、いずれは具体的な数値を代入することで、求めることができます。 なお、ax-by=1のパターンも、ax+b(-y)=1なので、-yを改めてyとおけば、ax+by=1のパターンに帰着できます。 これだけではわかりにくいかと思いますが、これを具体的な数値を代入して進めたものが、#4に書いたものです。もう1度、11x-97y=1の方程式の整数解の求め方を書きます。 97=8*11+9なので、11x+9y=1の整数解を求めます。・・・☆ ☆の整数解が見つからない場合、 11=1*9+2 から、9x+2y=1の整数解を求めればいいのですが、整数解は(1,-4)が見つかったとします。 9*1+2*(-4)=1 これに2=11-1*9を代入して 9*1+2*(-4)=9*1+(11-1*9)*(-4)=11*(-4)+9*5=1 上の続きと☆の整数解(-4,5)が見つかった場合 9=97-8*11を11*(-4)+9*5=1に代入して 11*(-4)+(97-8*11)*5=11*(-44)-97*(-5)=1 よって、(x、y)=(-5,-44)は方程式11x-97y=1の整数解 このように解けば、「すぐに」とか「簡単に」とは言えませんが、少なくとも具体的に代入するよりは「早く」「楽に」求めることができます。(x,yの係数が大きい場合のみ) 分からなければ補足をください。
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