数学

質問

(i)
(a＋b＋c＋d)＾10を展開するとき、a(b＾5)(c＾4)の係数を求める方法で乗数が10がわかりません。
これは
(a＋b＋c＋d)＾2×(a＋b＋c＋d)＾2×(a＋b＋c＋d)＾2×
(a＋b＋c＋d)＾2×(a＋b＋c＋d)＾2で求めるのでしょうか？
それともほかに簡単な求め方はありますか？

(2)〔(x-(1/(x＾2))〕＾10におけるx＾7のけ係数を求める
のですが、これも〔(x-(1/(x＾2))〕＾3×〔(x-(1/(x＾2))〕＾3×〔(x-(1/(x＾2))〕＾3×〔(x-(1/(x＾2))〕＾3×〔(x-(1/(x＾2))〕＾3で求めるととても複雑になってしまいます。

簡単な求め方がもしあるならおしえてください。

回答No.6

mickel131

すみません。下の回答の最後の結論が間違っていました。
----------------------------
(@)がx^7の項であるとすると、
(3r-30)＝７
よって、
3r =37 ,r=37/3＝12.3333・・・
（再び）変です。
-------------------------
r=37/3 に出会って変だ！と思うのはいいんです（rは整数にならないとダメ、だからです）が、
その後が間違っていました。

rが整数にならなかったことから何がわかるか？というと、

(1)問題が間違っている
または
(2)x^7のような項は、この式の展開式の中に出てこない

ということがわかるのです。

問題が間違っていなくて、(2)である、ということもあるわけで、下の方が、「今気づいた。」と書かれているとおりです。

Ｎｏ．５に書いたように、
一般項を計算してみると、
｛(nCr)*(Ａ＾r)*(B^(n-r))}
＝ (-1)^(15-r)*(15Cr)*x^(3r-30)　------(@)
ですから、この式にr=0,1,2,・・・,15
を代入して出来る項を全部計算して、全部たしてみれば、納得がいくでしょう。

たとえば、r=12　なら
(-1)^3*(15C12)*x^(3*12-30)
= (-1)*(15C3)*x^6
= (-1)*(15*14*13)/(3*2*1)*x^6
= -455X^6
であるし、r=13 なら
(-1)^2*(15C13)*x^(3*13-30)
= 1*(15C2 )*x^9
= (15*14)/(2*1)*x^9
= 105 x^9
です。
〔(x-(1/(x＾2))〕＾15　は、
こうしたものをみんな足したものになる、ということです。その中にはx^7は出てこないわけです。「係数はいくら？」、と聞かれたら「０」と答えるべき問題です。問題が間違っているのではなくて、少し特殊な問題だっただけでした。

回答No.5

mickel131

ここまでの方の回答等を見ずにｎ＝10で回答を書いたら、rが変になりましたので、下を見て書き直しました。

上の質問（２）に対しての回答です。
Ａ＝x、Ｂ＝-(1/(x＾2))、ｎ＝１５
として、二項定理
　（Ａ＋Ｂ）＾ｎ
＝Σ[r=0～n]｛(nCr)*(Ａ＾n)*(B^(n-r))}
に当てはめる。
一般項を計算してみると、
｛(nCr)*(Ａ＾r)*(B^(n-r))}
＝（15Cr)*(x^r)*((-1/(x＾2))^(15-r))
＝ (15Cr) *(x^r)*( - x^(-2)) ^(15-r)
＝ (15Cr) *(x^r)*(-1)^(15-r)*(x^(-2))^(15-r)
＝ (-1)^(15-r)*(15Cr) *(x^r)*(x^(-2))^(15-r)
＝ (-1)^(15-r)*(15Cr) *(x^r)*x^(-30+2r)
＝ (-1)^(15-r)*(15Cr)*x^(r-30+2r)
＝ (-1)^(15-r)*(15Cr)*x^(3r-30)　------(@)

二項定理によると、
〔(x-(1/(x＾2))〕＾15　は、(@)の形の式をr=0,1,2,・・・,15と置いてできる式の総和になる。
その展開式中にx^7があるときは、その項は必ず(@)の形をしている。
(@)がx^7の項であるとすると、
(3r-30)＝７
よって、
3r =37 ,r=37/3
（再び）変です。
（再び）今、下を見ました。

「結論」
問題が間違っています。

お礼

教えてください。

補足

すいません。下の方に記入したのですが問題は間違っています正解は
〔(x-(1/(x＾2))〕＾15におけるx＾7のけ係数を求める
です。
答えは0だそうです
です。
たびたびすいません。

回答No.4

naomi2002

＞答えは0だそうですがよくわからないです

今、気がつきました。
係数０ということは、つまりx^7の項は展開式の中に存在しないということですね。

展開するときに、xを何乗かしたものと、-1/x^2（つまり(-1)x^(-2)）を何乗かしたものを掛けあわせますね。
その結果、x^7になるような組み合わせが存在しないということです。

もう少し詳しく言うと、
xをa乗、-x^(-2)をb乗して、a+b=15となるような組み合わせをすべて合計したものが展開式になります。
その中に、x^7の項になるようなa,bの組み合わせが存在しないということです。
（展開式のxの次数は、・・・、8乗、7乗、6乗、・・・のように連続してなくて、飛び飛びになっていると思います。）

ちなみに、この問題では、xも1/x^2も係数が1なので、展開式のすべての項の係数が1または-1になります。
上の説明でbが偶数のとき1、奇数のとき-1になります。

これでおわかりでしょうか？
もしわからなかったら、補足質問してください。

回答No.3

naomi2002

＞15乗です。
＞3n=37
となって割りきれません。

たしかにそうですね。15乗だったら、nは整数にならないですね。
もしかしたら、問題が間違っていませんか？
ごめんなさい、わかりません。

＞(A+B)^15を展開したら、各項は(A^n)*(B^(15-n))の形になって
これは流れで覚えたのですがどうして(A^n)*(B^(15-n))の形になるのでしょうか？

「展開する」ということの根本的な意味を考えてみましょう。

例えば
(A+B)(C+D)を展開したら、AC+AD+BC+BDになりますよね。
それぞれのカッコから1個ずつ取って掛けたものを、全部合計する、それが「展開する」ということですね。
(A+B)^15の場合でも同じことです。この場合は、どのカッコの中にもAとBしかありません。それぞれのカッコから、AまたはBを取って、掛けていきます。カッコの数が15個ですから、AとBを合わせて15個取ることになります。Aをn個取ったら、Bは(15-n)個になりますね。

もし、わからなかったら、また補足質問してください。

補足

問題は
〔(x-(1/(x＾2))〕＾15におけるx＾7のけ係数を求める
です。
答えは0だそうですがよくわからないです。
いろいろと聞いてすいません。

回答No.2

naomi2002

完全に展開しなさい、っていう問題ではないですよね。
もし、完全に展開したら、ものすごく長くなっちゃいますね。
たぶん、特定の項の係数がどうなるか,っていう問題だと思うんですが。。。

(1) (a+b+c+d)を10回掛けるということは、(a,b,c,d)という組が10個あって、各組から、a,b,c,またはdを1個ずつ取って掛け、それを全部合計するということですね。
a(b＾5)(c＾4)の項の係数は、10個の(a,b,c,d)の組からaを1個、bを5個、cを4個、dを0個取る組み合わせの数に等しいはずです。

ですから、求める係数は、
C(10,1)*C(9,5)*C(4,4)
後は計算してみてくださいね。

(2)　)〔(x-(1/(x＾2))〕＾10
これは複雑そうに見えますが、(A+B)^10の形になっています。
A = x
B = (-1)(x^(-2))

(A+B)^10を展開したら、各項は(A^n)*(B^(10-n))の形になっているはずですね。（これにもちろん、係数がつきます。）
これをxの式に戻すと、
(A^n) * (B^(10-n)) = (x^n) * ((-1)(x^(-2))^(10-n)
になります。x^7の項になるのはnがいくつのときかを考えます。すると、
n + (-2)(10-n) = 7
n = 9

つまり、A (= x)を9個、B (=(-1)(x^(-2)))を1個、掛け合わせた項が、x^7の項になります。

ここで、何とかの三角形（名前は忘れました。ゴメンナサイm(__)m）と言うのがあって、

(A+B)^2 = A^2 +2AB + b^2　各項の係数は1,2,1
(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3　各項の係数は1,3,3,1
・・・・・

一般に、このような式を展開したときの各項の係数は
　　　 　　１ １
　　　　　１ ２ １
　　　　１ ３ ３ １
　　　　・・・・・・・・
という三角形から求められます。
それぞれの数字は、右上と左上の数を足した数になっています。
x^7の項は(A^9)(B^1)の項ですから、上の三角形で
1,9,・・・
なので、係数は9
しかしB^1から-1が出てくるので、係数は-9

これでいいと思いますが、もし間違っていたらゴメンナサイ。

補足

ごめんなさい。
(2)問題を間違ってしまいました。
(2)〔(x-(1/(x＾2))〕＾15におけるx＾7のけ係数を求める

15乗です。

(A+B)^15を展開したら、各項は(A^n)*(B^(15-n))の形になって

これは流れで覚えたのですがどうして(A^n)*(B^(15-n))の形になるのでしょうか？
これをxの式に戻すと、
(A^n) * (B^(15-n)) = (x^n) * ((-1)(x^(-2))^(15-n)
になります。n + (-2)(15-n) = 7
3n=37
となって割りきれません。
どのようにして求めるのでしょうか？

回答No.1

kony0

ヒントは２項定理or多項定理。

(1)は、１～１０の番号が振られた１０個の袋の中に、ａと書かれたボール１個、ｂと書かれたボール５個、ｃと書かれたボール４個を入れる入れ方の総数になります。

メカニズム（上記の意味）を研究のうえ、答えを導出してみてください。

(2)はまず２項定理で展開してしまいましょう。答えは10C9になるはずです。

これはすでに答えの８割を書いてしまった感があります。(^^;)