間違った理由とD

質問

こんにちは。
いつもお世話になっています。

下の問題で分からないところがあるので質問させてください！

問題　
aを実数とし、f(X) = 4^x - a2^x +1 + a^2 + a - 6　とおく。
f(X) = 0 を満たす実数 x が 2つあるような a の範囲を求めよ。

答え
　2^x　を t とおくと、f(X) = 0

( 2^x )^2 - a ×2×2^x + a^2 + a-6 = 0

t^2 - 2at + a^2+ a - 6 = 0

となる。そこで左辺を g(t) とおく。

g(t)= t^2 - 2at + a^2 + a - 6 = 0

t =2^x より t＞0 であり、１つの ｔ に対し、ｘ は１つ存在する。
よってg(t) = 0 が t＞0　に異なる２解をもつ条件を求める。

g(t) = (t - a )^2 + a -6　　……（*）

以下のような条件をもてばよい。

・　a＞ 0
・　g(0) = a^2 + a -6 ＞0
・　g(a) = a - 6＜ 0

したがって答えは　2＜a＜6

となっているのですが、わたしは（*）の式で判別式をとり、異なる２解をもてばよいことから、
D＞0 を求め、答えが　a＜ 6　となってしまいました。

答えのように、,３つ条件をとってやる理由がわかりません。
また、何の条件が足りなくて、間違ってしまったのかも分かりません

長く分かりづらい説明ですみません。

教えていただけると嬉しいです！！
よろしくお願いします。

回答No.6

NemurinekoNya · ベストアンサー

質問者さんが煮詰まっているようなので、助け船を出します。

D > 0だけだと、
　二次方程式：g(t) = 0
が相異なる２つの実数解を持つことしか言えない。この二次方程式の解α、βがともにゼロより大きい保証はどこにもないのよ。
それどころか、α、βがともにマイナスの可能性だってある。つまり、g(t) = 0は、t>0では解を持たないことだってある。

なので、
解と係数の関係から、
　α+β = 2a
　α・β = a^2 + a -6
αとβはゼロより大きいから、「α+β > 0」で「α・β > 0]でないといけない。
すると、
　α+β = 2a > 0
　α・β = a^2 + a -6 > 0
というのが出てくるのよ。
判別式を使うのならば、こうやらないとダメです。

条件：g(a) = a - 6＜ 0は判別式と同値。
条件：a＞ 0は、α+β = 2a > 0と同じこと。
条件：g(0) = a^2 + a -6 ＞0は、　α・β = a^2 + a -6 > 0
というわけです。

お礼

ああああ！！
分かりました！
頭がすっきりしました！！

誘導もしてくださって、ありがとうございます。
判別式の使い方に気をつけて、もう一度やり直します。

最後まで丁寧に教えてくださり、本当にありがとうございました。

回答No.5

Tacosan

その「2つ」というのは, 具体的にはいくつといくつですか?

回答No.4

Tacosan

no problem＞#2.

そう, それを入れておかないといけない. 例えば a=2 のとき f(x) = 0 となる実数 x はいくつありますか?

補足

夜分遅くに失礼します。

２つでしょうか。
何度も何度もすみません。

回答No.3

alice_44

かぶった。失敬。

回答No.2

alice_44

t ＜ 0 に対して x は？

お礼

御礼がおそくなってしまい、申し訳ありません。

ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

t =2^x より t＞0
を忘れてるんじゃないの?

補足

迅速な対応ありがとうございます。

長く分かりづらくてて本当に申し訳ないのですが、答えの部分の上から６行目に
t =2^x より t＞0 であり、１つの ｔ に対し、ｘ は１つ存在する。
と記載されている、その部分が条件として足りないということでしょうか。

お手数をおかけしますが、おしえていただけると嬉しいです。