数学B 等比数列の一般項を求める問題

質問

数列an+1=f(n)an (n≧1)の 一般項を求めよ。
f(n)=3・4^n-1
an=1

aの右にあるnとn+1は「a」の右下にある小さいやつのことを表しています。

よろしくお願いします。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

まず先の質問を締め切られていますが、どこがわからなかったのでしょうか？
単に答えがなかったから？

で、先の質問の時でもそうですが、この数列は「等比数列」ではありません。
f(n)＝ 定数であれば等比数列ですが、f(n)=3・4^n-1ですので。

f(n)=3・4^n-1は f(n)=3・4^(n-1)ですか？
4の何乗と書かれているかでだいぶ答えが変わります。

もし f(n)=3・4^(n-1)なのであれば、
a(n)
＝ 3*4^(n-1)* a(n-1)
＝ 3*4^(n-1)* 3*4^(n-2)* a(n-2)
＝ ・・・
＝ 3*4^(n-1)* 3*4^(n-2)* ・・・ * 3*4^2* 3*4^1* a(1)

となり、3は全部で〇個掛け合わされており（つまり 3の〇乗）
4は全部で 1+2+3+・・・+(n-1)個掛け合わされています。

お礼

前の質問は補足出して数日待ったのですが返答がきそうもなかったので締め切って新たに質問投稿しました。

確かに等比数列ではないですね。

それとa1=1で
f(n)=3・4^(n-1)
でした。失礼しました。
回答ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

f(n) = 3・4^(n-1) > 0　ですから、
a(1) = 1,
a(n+1) = f(n)・a(n)　なら
a(n) > 0　でしょう？

b(n) = log a(n),
g(n) = log f(n)
と置くことができて、
与式の log をとると

b(n+1) = g(n) + b(n),
g(n) = (log 3) + (n - 1)(log 4)
b(1) = 0
となりますが、

b(1) = 0,
b(n+1) - b(n) = (log 4)n + (log 3 - log 4)
を
自力で Σ することはできませんか？

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

info22_

下付き添字を[]で囲って書く事にします。

>an=1
a[1]=1の間違いでは?

そうであれば
a[n+1]=a[n+1]/a[1]
=(a[n+1]/a[n])(a[n]/a[n-1])(a[n-1]/a[n-2])・…・(a[2]/a[1])
=f(n)f(n-1)f(n)f(n-1)・…・f(2)f(1)
=3(4^(n-1))*3(4^(n-2))*(3*4)*3
={3^(n-1)}*4^{(n-1)+(n-2)+…+1}
={3^(n-1)}*4^{(n-1)n/2}
={3^(n-1)}*2^{n(n-1)}

∴a[n]={3^(n-2)}*2^{(n-1)(n-2)} （n≧2) , a[1]=1

お礼

回答ありがとうございました。