指数法則(x^p)^q=x^(p*q)について
乗算が可能な数 x で、次の式により関数を定義します。p と q は有理数です。
f(x,1)=x , f(x,p+q)=f(x,p) * f(x,q)
累乗根がただ一つ存在し
f(x,2)=x^2 , f(x,1/2)=x^(1/2)
などによって正の有理数 p に対し f(x,p) が定まる。（ケース１）
f(x,p)=f(x,p) * f(x,0) , f(x,0)=f(x,0) * f(x,0)
を満たす f(x,0) が存在する。（ケース２）
f(x,1)=f(x,2) * f(x,-1)
を満たす値がただ一つ存在し、すべての有理数で f(x,p) が定まる。（ケース３）
つまり、定義域の違いで３つに分けます。
さて、ここからが本題です。
ケース１では正の有理数 p と q に対し次の式が成り立ちます。
f(f(x,p),q)=f(x,p*q)
ケース３でもすべての有理数で同じ式が成り立ちます。
ケース２では、以下のどれが成り立つでしょうか？ （p>0）
A. f(f(x,p),0)=f(x,0)
B. f(f(x,0),p)=f(x,0)
C. f(f(x,0),0)=f(x,0)
D. f(f(x,0),-1)=f(x,0)
Bは、p=m/nと考え、(f(x,0)^m)^(1/n)=f(x,0) なので成り立つと思います。
よって、不明なのはA,C,Dの場合です。成り立つかどうか教えてください。
お礼
素早い回答ありがとうございます。 参考にさせていただきます。