円のまわりをころがる円

質問

半径4cmの円の外周を半径2cmの円がころがるとき、

「円の中心が動いた長さ」÷「ころがる円周の長さ」

で求められると聞きました。

(4＋2)π÷2π＝3回転

円がころがった長さをどうして円の中心が動いた長さと
考えてこのように求められるのでしょうか？
ぜひ教えてください。

回答No.3

Nakay702

＞半径4cmの円の外周を半径2cmの円がころがるとき、
＞「円の中心が動いた長さ」÷「ころがる円周の長さ」
＞で求められると聞きました。

＞(4＋2)π÷2π＝3回転

＞円がころがった長さをどうして円の中心が動いた長さと
＞考えてこのように求められるのでしょうか？

⇒円周の長さは一般に2πrなので、
「円がころがった長さ」は、両円の接点の移動を基にして、
(2πx4)÷(2πx2)＝2回転
と考えるのが普通ですね。
しかし、これは「ころがった円の、円周の実長」
であって、「回転数」そのものではありませんね。

つまり、ころがる円の「自転」だけを見ていたわけです。
ところが、実は、この円は1回公転する間にもう1回
自転している格好になるわけです。

月はいつも同じ面を地球に向けている（つまり、「接点は」
動かない）わけですが、「地球を一周する度に１回自転して
いることになる」、という事実を考え合わせると納得できる
のではないでしょうか。

回答No.2

noname#227653

わかりやすくするために、動かない方の円をAとし、Ａの周りを転がる円をBとします。半径は４cmと2cmとします。
ここで、Ａが円ではなく直線だとします。つまり８πcmの直線の上をBが転がるとします。
Ｂの円周は４πcmですから、Ｂは2回転するはずです。式を書けば「８π÷４π」ですね。
ところが実際にはAは円です。そこでBがAの周りを回るともう１回転するのです。つまり２＋１で３回転するのです。
これはイメージしにくいかもしれません。こんなふうに考えてみて下さい。まず、針金か何かでできた８πcmの直線の上をBが転がると考えて下さい。左端からスタートして右端にたどりついたときBは2回転しています。それから針金の右端をぐーっと下向きに曲げていって左端にくっつけ、円を作ります。円Aができますね。BもAの右端にくっついたまま一緒に動くと考えて下さいん。そうするとＢは転がってはいませんが動きながら１回転しますよね。だからAは２＋１で３回転するのです。

短くまとめると、ＢはＡの円周分の長さを動くだけで２回転し、さらにＡが円であることでもう１回転する、ということになります。

別の例をあげてみますと、たとえば私が歩いて地球を１周したとします。普通に歩いて（つまり転がったりせずに）1周したとしても、宇宙から私を見たら、私は１回転しているように見えるはずですよね。これと同じです。ご理解いただけたでしょうか。

ここでAの半径をa、Bの半径をｂとします。
今のを式にすると、回転数は「２ａπ／２ｂπ＋１」で求められますね。簡単にすると「ａ／ｂ＋１」です。

一方、質問文にあった「円の中心が動いた長さ÷ころがる円周の長さ」を式にしてみると「２（ａ＋ｂ）π／２ｂπ」ですよね。簡単にすると「（ａ＋ｂ）／ｂ」です。これは「ａ／ｂ＋ｂ／ｂ」になりますから、つまり「ａ／ｂ＋１」ですね。上の式と同じになりますね。

というわけで質問文にあった式で転がる数が求められるのです。

回答No.1

nananotanu

単純に、半径4cmの円を一箇所で切って平らにのばした、と考えてみたら？

平面上を転がる時に、進んだ長さ(軌跡の長さ)を円周(1回転あたりに進む長さ)で割れば何が出る？
進んだ長さと、中心が動いた長さの関係は？？？