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平均値で求めた標準偏差と最小二乗法で求めた標準偏差
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- hitokotonusi
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こういうことですね レンズの結像公式 1/a + 1/b = 1/f 倍率 m = b/a b = maなので 1/a + 1/b = 1/a + 1/ma = (1/a)(1+1/m) = 1/f a = (1+1/m)f = f + f(1/m) これだけの情報ではなんとも言えませんが，一つ気になるのが ＞y = a + bx と書いたときのaとbが独立ではないので，本来， a = (1+1/m)f を元に1+1/mをxとして y = ax の形の最小二乗法をやるべきでは？どのくらい影響するのかわかりませんが。 次に，y=a+bxという式の最小二乗法による係数bの誤差Δbは，yの読み取り誤差をΔとして Δb = √[ n / {Σxi^2 - (Σxi)^2 } ] Δ 「平均値・・・」の方の焦点距離の読み取り誤差もΔ程度であれば， 双方の誤差は √[ n / {Σxi^2 - (Σxi)^2 } ] だけ異なる。 それから，単純な間違いの可能性としては，「平均値・・・」のほうが ＞標準偏差 ＝ √Σ(焦点距離の残差)^2/n(n-1) と，平均値の標準偏差を使っているのに対して，「最小二乗法」で計算しているのが測定値の標準偏差で√nで割っていない。 あとは，一番ありそうなのが，二つの方法で直接測っている物理量が異なるので，その物理量(レンズと焦点の距離，および，像の大きさ？)の読み取り精度(上のΔ)がそもそも大きく違うということでしょうか。
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質問者からの補足
求めた量は組み合わせレンズの焦点距離です。 まず1つ目は、平均値から求めるやり方です。 使った式は 標準偏差 ＝ √Σ(焦点距離の残差)^2/n(n-1) です。 よって焦点距離は 平均値 + 求めた標準偏差 となります。 2つ目は縦軸にレンズの表面から物体までの距離、横軸にレンズの倍率の逆数1/mとしてそのグラフを描き、 直線 y = a + bx として最小二乗法でその傾き（焦点距離f）を求めるというやり方です。 この2パターンで焦点距離を求めた結果、値が大きく異なりました。