三角関数

質問

「」の部分が、なぜそうなるのか分かりません。
どなたか解説をお願い致します。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

f(θ)=4(cosθ)^2+2sinθcosθ-2(sinθ)^2-1(0≦θ≦π/4)
(1)
f(π/4)=1
(2)
(i)
f(θ)=3cos(2θ)+sin(2θ)
(ii)
f(θ)=(√10)sin(2θ+α)
r=√10
cosα=1/√10
sinα=3/√10
(3)
0≦θ≦π/4よりα≦2θ+α≦π/2+α
またtanα=sinα/cosα=3>1よりπ/4<α<π/2
π/4<α<π/2<π-α<π/2+α<π
sin(π/2+α)≦sin(2θ+α)≦sin(π/2)=1
sin(π/2+α)=cosα=1/√10
sinα=3/√10

f(θ)=k(kは定数)を満たすθ(0≦θ≦π/4)がただ1つあるとき
(√10)sin(2θ+α)=kを満たすθ(0≦θ≦π/4)がただ1つあるから
1/√10≦sin(2θ+α)≦1だから
1≦√10sin(2θ+α)≦√10だから
1≦k≦√10

f'(θ)=(2√10)cos(2θ+α)
f(0)=3
0<θ<π/4-α/2のときf'>0だからfは増加で3<f(θ)<√10
f(π/4-α/2)=√10
π/4-α/2<θ<π/2-αのときf'<0だからfは減少で√10>f(θ)>3
f(π/2-α)=3
π/2-α<θ<π/4のときf'<0だからfは減少で3>f(θ)>1
f(π/4)=1

k=3ならばf(0)=f(π/2-α)=3=kで0<π/2-αだから
f(θ)=kを満たすθ(0≦θ≦π/4)はθ=0,θ=π/2-αの2つあるから
k≠3

3<k<√10ならば
f(θ)=kを満たすθ(0≦θ≦π/4)に対して
0<θ<π/4-α/2のとき3<f(θ)<√10
f(0)=3,f(π/4-α/2)=√10で中間値の定理から
0<θ1<π/4-α/2,f(θ1)=kとなるθ1がある
π/4-α/2<θ<π/2-αのとき√10>f(θ)>3
f(π/4-α/2)=√10,f(π/2-α)=3で中間値の定理から
π/4-α/2<θ2<π/2-α,f(θ2)=kとなるθ2がある
θ1<π/4-α/2<θ2だから
f(θ)=kを満たすθ(0≦θ≦π/4)はθ1<θ2の2つあるから
1≦k<3,.or.k=√10

k=√10のとき
f(θ)=√10を満たすθ(0≦θ≦π/4)はθ=π/4-α/2のただ1つである

k=1のとき
f(θ)=1を満たすθ(0≦θ≦π/4)はθ=π/4のただ1つである

1<k<3のとき
f(θ)=kを満たすθ(0≦θ≦π/4)に対して
π/2-α<θ<π/4のときだけ3>f(θ)>1
f(π/2-α)=3,f(π/4)=1で中間値の定理から
π/2-α<θ<π/4,f(θ)=kとなるθがある
π/2-α<θ1<π/4,f(θ1)=kとなるθ1があるとする
θ<θ1ならばfは減少だからk=f(θ)>f(θ1)=kとなって矛盾
θ1<θならばfは減少だからk=f(θ1)>f(θ)=kとなって矛盾
∴θ=θ1
f(θ)=kを満たすθ(0≦θ≦π/4)がただ1つある
∴
f(θ)=kを満たすθ(0≦θ≦π/4)がただ1つのとき
√10sin(π/2+α)=1≦k<3=√10sinα
または
k=√10

お礼

分かりやすい解説、感謝致します。
ありがとうございました。

回答No.1

noname#190575

画像が小さくて見えないです。

お礼

画像が小さかったようで、申し訳ありません。
ご指摘ありがとうございます。