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数学についての質問です。
sunflower-sanの回答
以下では∫は0からaまでの定積分を表すものとします。 ご質問の式変形が出来る理由は、m≠n のとき、 ∫sin(mπx/a)sin(nπx/a) dx = 0 が成り立つ、ということの帰結です。 この問題では二重のフーリエ級数ですが、仕組みは一重の場合と全く同じなので、一重の場合に説明します。 Σを n が1から∞までの和として、 F(x) = Σ(D_n) sin(nπx/a) で定義されるF(x)を考えましょう。 このとき、∫F(x) sin(mπx/a) dx がどうなるか計算してみます。 ∫F(x) sin(mπx/a) dx =∫Σ(D_n) sin(nπx/a) sin(mπx/a) dx =Σ(D_n)∫sin(nπx/a) sin(mπx/a) dx ここまではOKですか? さて、各項に現れた∫sin(nπx/a) sin(mπx/a) dx は、n≠mのときは0であったので、 n が1から∞までの和のうち、残るのはn=mの項だけになります。 これが、 Σ(D_n)∫sin(nπx/a) sin(mπx/a) dx =(D_m)∫sin(mπx/a) sin(mπx/a) dx となる成り立つ理由です。 二重の場合も、 ∫∫sin(jπx/a)sin(kπy/a) sin(mπx/a)sin(nπy/a) dx dy =(∫sin(jπx/a)sin(mπx/a) dx)・(∫sin(kπy/a)sin(nπy/a) dy) が j=m かつ k=n の場合以外0になってしまうため、D_(m,n) 以外の項が消えてしまう、というわけです。 ちなみに、この事実は、 「sin(mπx/a) , m=1,2,3,..が、内積<f, g>=∫f(x)g(x) dx (0からaまでの積分)に関して、直交関数系をなす」 と表現されます。 一般に直交関数系{f_n}が与えられ、それらで展開された(それらの係数付きの和で表された)関数F=Σc_n f_n について、 内積 n≠mなら<f_n, f_m>=0 という性質から <F, f_m> =<Σc_n f_n, f_m> =Σc_n < f_n, f_m> =c_m < f_m, f_m> というふうに各f_mの成分を取り出すことが出来ます。
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