二つの封筒の問題

質問

お金の入った二つの封筒があります。

一方の封筒には、もう一方の封筒に入っているお金の2倍の金額のお金が入っていることが分かっています。

あなたはどちらか一方のみを持ち帰ることが出来ます。 より高額な方を持ち帰りたいとしましょう。

まず、一方の封筒を選び中身を確認したところ、1000円入っていました。

あなたは、そのまま最初に選んだ封筒の1000円を持ち帰ることも出来ますし、最初に選んだ封筒は持ち帰らず、残ったもう一方の封筒に入ったお金を持ち帰ることも出来ます。

残ったもう一方の封筒の中身は、2000円か500円のどちらかということが分かるので、残ったもう一方の封筒を持ち帰った場合の期待値を計算してみると、
2000円×(1/2)+500円×(1/2)=1250円
となり、最初に選んだ封筒の金額1000円を上回るので、最初に選んだ封筒ではなく、残ったもう一方の封筒を持ち帰った方が得、ということになります。

ところが、いろいろと金額を変えて計算してみても、最初に選んだ封筒に入っている金額に関係なく、持ち帰る封筒を変更した場合の期待値は、最初に選んだ封筒に入っている金額の1.25倍になることが分かります。

ということは、最初に封筒を選んだ時点で、中身を確認するまでもなく、持ち帰る封筒を残ったもう一方の封筒に変更した方が良いということになりますが、「選んだ時点で、持ち帰る封筒を変更した方が得」というような事があるのでしょうか。

※選んだだけなら、持ち帰る封筒を交換することには全く意味がないと思えるのですが。

回答No.31

zenin

数年前に片が付いた問題です。
No.4378786等をごらんください。
可也の人が　ベイズの理論（事前確率に依拠する）に惑わされていますが、大抵の人が間違った方向に行ってしまっています。
事は簡単で、開けた1000円は2枚の封筒の中身の　多い方か、少ない方か（分からないが）決まっているのです。
多い方、少ない方である確率は1/2ではなく、　0か1かです。1000円は多い方か少ない方か決まっているのです。知らないだけです。
中身を中心に考えるのですから。
多い方である時にはもう一方の期待値は500円、少ない方である時には一方の期待値は2000円