期待値の問題 矛盾？

質問

どこかで見た問題で、難問とされていました。
どれだけ考えても意味が分かりません。

二つの封筒があります。
封筒にはお金が入っており、片方の封筒にはもう片方の封筒の2倍の金額が入っています。
(一つの封筒にはx円、もう一つの封筒には2x円)
どちらかの封筒をあげると言われたので私が片方の封筒（封筒Aとします）を選んだところ、
中には10000円が入っていました。
そこで、「もう片方の封筒(封筒B)に変えてもいいよ」と言われました。
私は期待値を考えます。
封筒Bには5000円か20000円が入っていることになります。
それぞれ確率は1/2ですから、封筒Bには期待値として5000*1/2+20000*1/2=12500円のお金が入っていることになります。
ということは変えたほうが得なのですが、そんな馬鹿な話はありません。
封筒Aの中身を見る前はどちらを選んでも期待値は同じだったのに、
封筒Aの中身を見た途端、封筒Bの方が期待値が高くなったのです。

これはどういう理屈でしょうか？
現実に封筒に金額を書いた紙を入れて実験してみましたがこの通りになってしまいました。
どなたか知恵をお貸しください。

回答No.5

aquarius_hiro · ベストアンサー

こんにちは。

興味深く考えさせていただきました。

ご質問の要点は、

「引き直したほうが得するということが日常的な直感に一致しないので矛盾しているのではないか？」

ということだと思います。

「そうでもない」ということをご説明します。

まず問題の状況で、封筒を開封する前の段階で、封筒の中身の金額 x は、何らかの確率分布 P(x) で分布しています。（例えば横軸に x をとって、縦軸に P(x) をとり、どこかにピークのある適当な曲線を描いてみると分かりやすいと思います。）

問題では与えられていませんが、「確率を考える人」がいれば、そこには何らかの確率分布はあります。

もしその人が完全に無知な人だとしたら、例えば10,000円と10,000,000円の区別が付かないわけですから、すべての金額は等確率であり、分布が一様になるだけのことです。

さて、封筒Ａを開封して10000円入っていた場合、もとの確率分布から考えて、自分は失敗したか成功したか、何らかの確率が予想できます。

例えば、封筒にお金を入れてくれた人が、ケチケチな人で、10000円は大奮発と考えられるとしたら、10000円は成功だったと推測できます。その場合は引きなおさないほうがよいわけです。

一方、その人がとても気前の良い人で、人にお金をあげるときには、普段千円札などは使わないような人だったとしましょう。そしたら、10000円は失敗だった確率が高く、その場合は引き直したほうが、期待値的には得なわけです。

前者の例では、確率分布 P(x) は x = 10000 よりも、おそらくずっと左側にピークがあるような形でしょう。また後者の例では、P(x) のピークの位置は x = 10000 よりもずっと右のほうにありそうです。

このように、最初に考えられる確率分布をもとに、10000円を引いた時点で条件付確率を考えることができます。その条件付確率では、5000円と20000円が等確率ということは、むしろ例外的な場合で、一般には最初の確率分布によって、どちらかの確率が大きくなります。

このように、「引き直したほうが得」という状況は、現実的にはそれほど珍しくないことがわかると思います。

さて、それでは最初に何も条件が与えられていないということから、開封前にすべての確率が等確率だったとしてみましょう。

具体的な通貨「円」を使っていることから、市中に流通しているすべての通貨量 N を上限として、その確率は 1/N となります。これは日常的な直感にもうすでに一致していない前提条件なので、何が起きてもすでに不思議ではありません。

その場合、くじを引く人は、このくじで未曾有の大金持ちになる確率が限りなく 1 に近いわけですから、非常な期待を持ちながら、そのくじを引くでしょう。そして 10000円が入っていたということには、大変失望するでしょう。

その場合、もう一つの封筒に、5000円と20000円が入っている確率は、ほぼ半々ですから、期待値は 12500円になり、引き直したほうが期待値的には2500円得です。

これは元々の確率分布の重心が、そもそも 10000円よりはるかに右側にあることから、不思議ではありません。

逆に、最初に引いた金額 x が、上限値 N に近いとしたら、当然、引き直さないほうが得ということになります。

例えば、引いた金額 x が、上限 N に対して、x＞N/2 だったとしましょう。その場合にはもう一つの封筒には Nを越えた金額は入れない前提ですから、引き直せばその金額は必ず x/2 （< x）になります。

もし、この場合の「円」は仮想的な通貨で、通貨の総量などの数値を定義すべきではなく、上限 N は無限大だったとしましょうか。

その場合は、問題の前提条件が起きる確率はそもそも 0 ですが、いったん有限値 N にしておいて、その後に N→∞を考えるということもできますので、そうしましょう。

その場合、上の話と全く同様に考え、期待値は大きい N に対していつも 12500円になり、従って、N→∞の極限をとっても変化しません。

このことは、引いた金額が10000円でも、数兆円でも、それ以上でも、いつでも変わらず、二回目の金額は最初の金額の5/4倍になります。この「いつでも」もまた、日常直感に一致しないところですが、こちらのほうについては無限大を考えているのが原因です。

もし通貨の総量や、無限大を考えると分かりにくいとするなら、より現実的な値10万円を上限にして、1000円刻みで等確率で分布しているモデルを考えても良いでしょう。

その場合でも、10000円引いてしまった前提で、もう一つの封筒が 5000円、20000円である確率は、1/2ずつになり、期待値は 12500円になります。

このように、二つ目の封筒の期待値が10000円よりも大きくなるのは、無限大やとてつもない金額が上限だからではありません。

しかしながら、その代わり、一つ目の封筒で x＞50000円のときには、もう一つの封筒には、10万円を越えて入らないので、25000円である確率が1 になり、期待値はx/2=25000円 < 50000円 < x になります。

繰り返しになりますが、現実的には、常識的な金額の範囲での確率分布P(x)があるはずで、その元の確率分布から、引いたあとの条件付確率が考えられるので、引きなおしたほうがよいかどうかは、その条件付確率がどうなるか、すなわち最初の確率分布の様子によって変わってきます。

「もう片方の封筒に変えても良いよ」という、そそのかしに乗るべきかどうかは、そのようにして判断すべきです。

以上の議論は次のようにまとめることができます。

(1) 5000円と20000円が、半々の確率になるということは、暗黙に考えている最初の確率分布 P(x) で、xの上限が 10000円よりも十分に大きく、しかもすべての金額が等確率に実現すると考えているためであり、一般にはそのようにはなりません。（この部分には無限大は必ずしも必要ない。）

(2) 同じ前提条件でも、一回目に引いた金額が大きければ、二回目の期待値のほうが低くなる。

(3) 10000円を100万円にしても、1億円にしても二回目の期待値のほうが高くなるのは、元々の x の上限を天井知らずと考える場合で、これについては「上限＝無限大」が原因。

(4) 二つ目の封筒の期待値が、開封した封筒の中身よりも大きくなることは、何もめずらしいことではない。また同様に、小さくなることもめずらしくない。

このようなことでお答えになっているでしょうか。

回答No.4

Ishiwara

結論を言いますと「数学の問題として成立していない」ということです。サンクトペテルブルグの問題や、モンティホールの問題は、数学の問題として成立しています。

この問題は、事前確率の分布が提示されていないので、解析的に解くことも、モンテカルロ法を使うこともできません。∞円までのすべての整数の事前確率が均等だとすれば、具体的な金額、例えば1万円入っている事前確率は０となります。

とは言え、宴会の余興で、このようなクジを引かされる場合がないとは言えません。しかし、このような場合に「確率論」は無力です。そのような場合に頼りになるのは「決定理論」であり、もし“意地悪な相手”を想定すれば「ゲームの理論」になります。

人は期待値のみによって行動するにあらず。もし、きょう１万円あれば会社が倒産せずに清むのであれば、次の封筒に手を出さないでしょう。

回答No.3

banakona

＞ということは変えたほうが得なのですが、そんな馬鹿な話はありません。

いや、あるかも。直感的な結論が正しいとは限りません。これってモンティ・ホールに似ていますしね。
（未検討なので分かりません。m(_ _)m　質問者さんの方が正しいかも。）

回答No.2

koko_u_

>単に文章のミスを指摘して頂いただけでしょうか？
>それとも、ここに問題のポイントがあるという意味でしょうか？
後者です。

>常識的に考えればどちらを選んでも期待値は同じはずだと思うのです。
「期待値」の用語が混同されているようですね。
ここに引用した文章での「期待値」は開封前に「封筒Aの金額の期待値 と 封筒Bの金額の期待値」

しかし、これと封筒A開封後に「封筒Bの金額の期待値」を比較しようとしていますが、無意味です。

回答No.1

koko_u_

>封筒Aの中身を見る前はどちらを選んでも期待値は同じだったのに、
封筒Aの中身を見るまで、期待値は算出不可能ですよね。

補足

失礼しました。
同じだった「はず」ですね。

単に文章のミスを指摘して頂いただけでしょうか？
それとも、ここに問題のポイントがあるという意味でしょうか？

確かに、封筒の中身を見ていない間の期待値の比較は出来ないかも知れません。
（仮に封筒Aに入っている金額を未知数としてxとおいてしまうと封筒Bの金額の期待値は1.25xとなってしまう。）
ですが、常識的に考えればどちらを選んでも期待値は同じはずだと思うのです。