一様分布の期待値

質問

一様分布の期待値なのですが、[b,c]での一様分布の期待値はf(x)=1/c-bとなり、x*f(x)を積分すれば出てきて、b+c/2となり、また、２乗の期待値も、x^2*f(x)を積分すればいいですよね
ここで、一様分布からa引いた変数の2乗の期待値はどのように出せばよいのでしょうか?
図で言うと、x軸上のbからｃの間に一様に分布している点があり、その点とaの距離の２乗の期待値を求める問題です。
積分から求めようとすると、確率密度関数f(x)がどのように変わるのかがよくわからず解けません。単純にaを考えず原点からの距離であれば、上記した２乗の期待値x^2*f(x)を積分すればよいですよね。
しかし、aからの距離ということは、どこかの段階でaを引かなければいけないと思うのですが、どこからaを引くのかわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>x軸上のbからｃの間に一様に分布している点があり、その点とaの距離の２乗の期待値を求める問題です。

E((x-a)^2)=∫[b,c] {(x-a)^2}f(x)dx
=∫[b,c] (x^2-2ax+a^2)f(x)dx
=∫[b,c] (x^2)f(x)dx-2a∫[b,c] xf(x)dx+(a^2)∫[b,c] f(x)dx
=E(x^2)-2aE(x)+a^2　…（★）
という関係にあります。

E(・)は（ ）内の式の期待値を表します。
一様分布の場合
E(x^2)=∫[b,c] (x^2)/(c-b)dx={(c^3-b^3)/3}/(b-c)=…
E(x)=∫[b,c] x/(c-b)dx=(b+c)/2
これらを（★）の式に代入すればE((x-a)^2)が求まります。

回答No.3

Tacosan

うぅん, なんで「確率密度関数が変わる」などと考えるんだろう. 非常に謎だ. だって, もし「一様分布からa引いた変数」の確率密度関数が 1/(c-b)-a になると考えたとしたら, a=1, b=0, c=1 とすると明らかにおかしいでしょ?

いろいろ考え方はあるんだけど, #1 に書いた以外にも
「[b, c] 上の一様分布に従う確率変数から a を引く」と, 得られるのは「[b-a, c-a] 上の一様分布に従う確率変数」だよね.

回答No.1

Tacosan

「一様分布から a 引いた変数の 2乗」はどのように書けますか?

補足

{(1/c-b)-a}^2でしょうか。。。?