期待値

質問

困っています。助けてください。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ、Ｅと書かれた封筒とカードがある。１つの封筒にカードを１枚ずつ入れる。
(1)封筒とカードの文字が１組も一致しない確率をもとめよ。
(2)封筒の文字とカードの文字が一致する組数の期待値を求めよ。
答え(1)３０分の１１
　　(2)１組
考え方が分かりません。
丁寧なご解答をお願いします。

回答No.1

noname#56760 · ベストアンサー

○○○○○　←カード　　
↓↓↓↓↓
ＡＢＣＤＥ　←封筒

図のように封筒を固定し、上の○にカードを並べる。カードは↓の封筒に入るものとする。カードの並べ方は５！＝１２０通りである。

期待値を出すので
１）５枚とも一致するのは１通り
２）４枚とも一致するのは０通り
３）３枚とも一致するのは
まず一致する３枚の選び方は
５Ｃ３＝１０通り
残りの２枚が一致しないように入れる方法＊は１通りだから
１０×１＝１０通り
４）２枚とも一致するのは
まず一致する２枚の選び方は
５Ｃ２＝１０通り
残りの３枚が一致しないように入れる方法＊は２通りだから
１０×２＝２０通り
５）１枚一致するのは
まず一致する１枚の選び方は５通り
残りの４枚が一致しないように入れる方法＊は９通りだから
５×９＝４５通り
よって１枚も一致しないのは１２０－１－０－１０－２０－４５＝４４通り
したがって　　４４/１２０＝11/30となります。
＊の部分は書き出した方が速いと思います。

期待値
５×1/120+4×0/120+3×10/120+2×20/120+1×45/120
=120/120=1
よって１組と出ます。

お礼

ありがとうございました。
良く理解できました。
ポイントは、回答順でお願いします。

回答No.3

banakona

＃１さんの回答に少しだけ補足。

＞４枚が一致しないように入れる方法＊は９通りだから

これをもれなく数え上げる自信は私にはありません。
そこで次のように考えましょう。
封筒とカードがｎ組しかない場合に、１組も一致しないように入れる方法がＭｎ通りあるとします。（ここではＭ4を求めることになります。）

一致しない４枚をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとします。ＡのカードをＢの封筒に入れるとすると、残りのＢ、Ｃ、Ｄのカードを一致しないように入れる方法はＭ3＋Ｍ2通りあります。
（一見、Ｍ3通りありそうだが、Ｂの封筒が使用ずみなので、Ｂのカードだけ「どの封筒に入れても構わない」という特別な状態にある。そこで、Ｂについて場合分けをする。
・ＢのカードをＡの封筒に「入れる場合」は、Ｃ、ＤのカードをＣ、Ｄの封筒に一致することなく入れる方法の数だけある。これがＭ2通り。
・ＢのカードをＡの封筒に「入れない場合」は、Ｂ，Ｃ、ＤのカードをＢ，Ｃ、Ｄの封筒に一致することなく入れる方法の数と同じ（Ａの封筒をＢの封筒とみなす）なのでＭ3通り。
これらを加えてＭ3＋Ｍ2通り）
ＡのカードはＢの封筒だけでなく、Ｃ、Ｄの封筒にも入れることができるので　Ｍ4＝３×（Ｍ3＋Ｍ2）　・・・★
Ｍ2＝１、Ｍ3＝２なので（これぐらいは数えられる）　Ｍ4＝３×（２＋１）＝９

★を一般的に書くと、Ｍn＝（ｎ－１）（Ｍn-1＋Ｍn-2）　Ｍ1＝０、Ｍ2＝１
となります。これはけっこう有名な漸化式なので覚えておくことをお勧めします。

回答No.2

Mr_Holland

(１)　この問題は、５つの場合の完全順列に対応します。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/probability/changeseating.htm

　封筒とカードがｎ枚のとき、どれも一致しない場合の数をF(n)としますと、

　　F(n)＝(n-1){ F(n-1)＋F(n-2) }

となります。
　これは、次の場合の数を足し合わせて求めています。
　(a)　カードＡがｋ番目の封筒に入っているとき、後の(n-1)枚はすべて一致しない。　＝F(n-1)
　　　⇒カードをＡ～Ｅとした場合、(n-1)×F(n-1)
　(b)　またカードＡがｋ番目に入っていない場合は１番目（封筒Ａ）とｋ番目を除いた残りの(n-2)枚がすべて一致しない。　＝F(n-2)
　　　⇒カードをＡ～Ｅとした場合、(n-1)×F(n-2)

　これで、F(1)から順にF(5)を求めますと、

　　F(1)＝０
　　F(2)＝１
　　F(3)＝2{F(2)+F(1)}＝２
　　F(4)＝3{F(3)+F(2)}＝９
　　F(5)＝4{F(4)+F(3)}＝４４

となりますので、これをすべての場合の数　５！　で割ったものが求める確率になります。

　　F(5)/5!＝44/120＝11/30

(2)　封筒とカードの文字が一致する組数をｎ組としますと、ｎ組が一致する場合の数Ｇ(n)は、次のように表されます。

　　G(n)＝5Cn・F(5-n)

　したがって、(1)で求めたF(n)を使うと、n=0～5のG(n)は次のように求められます。

　　G(0)＝1・F(5)＝４４
　　G(1)＝5・F(4)＝４５
　　G(2)＝5・4/2・F(3)＝２０
　　G(3)＝5・4/2・F(2)＝１０
　　G(4)＝5・F(1)＝０
　　G(5)＝1・F(0)＝１

　したがって、期待値は次のように求められます。

　　[n=0→5]ΣnG(n)/5!
　＝{0・G(0)+1・G(1)+2・G(2)+3・G(3)+4・G(4)+5・G(5)}/120
　＝{0+45+2*20+3*10+0+5*1}/120
　＝１

お礼

ありがとうございました。
ポイントは、回答順でお願いします。