確率の期待値の問題

質問

確率の問題です。

わからないので教えて頂けないでしょうかお願いします。

あるお菓子を買うとおまけとしてA,B,C,D,Eのどれかのカードが付いてくる。全部揃えるには平均何個のお菓子を買えばよいか

期待値を求めれば良いと思うのですがそれぞれの確率の求め方が分かりません。

回答No.4

momordica · ベストアンサー

まず、1個買えば1種類目のカードが手に入ります。

次に1種類持っている状態で、次に買ったときにまだ持っていない2種類目が出る
確率は4/5ですから、1種類目が出た後で2種類目が出るまでに買うお菓子の
個数の期待値は逆数の5/4個です。

*このあたり、直観的には、例えば「確率が1/5なら、5個買えばいい」ってこと
　なんですけど、ちゃんとやるなら、次のようになります。
　確率pで起こる事象がn回目の試行で起こる確率は p*(1-p)^(n-1)ですから、
　起こるまでの試行回数の期待値は

　　Σ[n=1 to ∞] [n*p*(1-p)^(n-1)]
　　　　= lim[n→∞] {Σ[k=1 to n] [k*p*(1-p)^(k-1)]}
　　　　= lim[n→∞] { (1-(1-p)^n)/p + n*(1-p)^n }
　　　　= 1/p

　　となります。

以下同様に、3種類目、4種類目、5種類目が出るまでに買うお菓子の個数の
個数の期待値は5/3、5/2、5/1個です。

したがって、5個すべてそろうまでに買う個数の期待値は

　5/5+5/4+5/3+5/2+5/1=137/12=11.4166…　（個）

一般におまけの種類がn種類で、商品を1つ買うごとにそれらのうち一つが等確率
でついてくるとすると、n種類すべてがそろうまでに買う商品の個数の期待値は

　Σ[k=1 to n] [n/k]

で求められます。

お礼

遅れましたが回答ありがとうございました。

非常にシンプルでスマートな解放で場合の数を求めてひたすら計算しようとしていた自分にとってはまさに目からうろこの解法でした。

回答No.3

nag0720

＃２さんのはちょっとおしいです。

n-1回目までに必ず４種類揃っていなければならないので、１～３種類だけしか揃っていない場合を除く必要があります。

n-1回買ったときのカードの順列の数は5^(n-1)通り。
そのうち、
１種類だけ揃うカードの順列の数は、
5C1*1^(n-1)通り
２種類だけ揃うカードの順列の数は、
5C2*(2^(n-1)-2C1)通り
３種類だけ揃うカードの順列の数は、
5C3*(3^(n-1)-3C2*(2^(n-1)-2C1)-3C1)通り
４種類だけ揃うカードの順列の数は、
5C4*(4^(n-1)-4C3*(3^(n-1)-3C2*(2^(n-1)-2C1)-3C1)-4C2*(2^(n-1)-2C1)-4C1)
=5*4^(n-1)-20*3^(n-1)+30*2^(n-1)-20通り

ということで、n回目に５種類揃う確率P(n)は、
P(n)=(5*4^(n-1)-20*3^(n-1)+30*2^(n-1)-20)/5^n

期待値は、
Σ[k=5・・・∞]kP(k)
を計算すればいいんだけど、あとはまかせます。

お礼

遅れましたが回答ありがとうございます。

その後計算をして答えを出すことができました。
本当にありがとうございました。

回答No.2

noname#137826

こんな感じでしょうかね。
(途中、計算を間違えているかもしれないのできちんと確かめてみてください。)

前提として、全種類そろえたところで買うのをやめるとします。
n-1 回目までどれか1種類が欠けている確率は (4/5)^(n-1)×5 なので、n 回目に全種類揃う確率 P(n) は、

P(n) = (4/5)^(n-1)×5×(1/5) = (4/5)^(n-1)

です。すると求める期待値 N は http://bit.ly/hctS8R のように求められるように思います。(N = 2304/125 = 18.432)

お礼

遅れましたが回答ありがとうございました。

その後なんとか答えを出すことができました。

回答No.1

yukaru

＞それぞれの確率の求め方が分かりません。
求められませんが正解です
いわゆるひっかけ問題なのか？