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２つの封筒から選んだ数字の期待値は？
- ２つの封筒から選んだ数字の期待値を考える問題です。
- ３人の意見がありますが、それぞれの意見には異なる理論があります。
- 意見１では、選んだ数字の期待値は13となり、交換すべきと主張しています。
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＞ ｂを特定していないので、場合わけしなくても ＞ ｂと期待値のｂ（２４ｐ+1）/５が比較できればよいとおもいます。 思うのは勝手ですが、未知にせよ特定の b において比較したならば、 それは、「事後の」比較です。 ＞ もし場合わけをしたとしても ＞ ｂ＝1とした場合は１と（２４ｐ+1）/５との比較 ＞ ｂ＝２とした場合は２と２×（２４ｐ+1）/５との比較 ＞ となり常に比率は一定です。 一般には、p が b 毎に異なるので、「比率は一定」にはなりません。 「p は b に依らず一定」という仮定を設けるのなら、それはそれで 良いのですが、そのような仮定の上でだけ成り立つ考察だということを 理解する必要があります。 ＞［B］の状態で有利さが同じとするならばｐ＝１/６とするしかないのではないですか。 その通りです。だから、中身を見て b だった封筒と、もう一方の封筒を 交換することの「有利さが同じ」と考えるならば、 それは、p = 1/6 だと考えることと同じなのです。 そう考えても良いのか？という問題が残ります。
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- arrysthmia
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［事前］［事後］という言葉に惑わされてはいけません。 選んだ封筒の中身 ｂ ともう一方の封筒の期待値を比べたならば、 その比較には、選んだ封筒の中身が ｂ だった という条件を 使っています。注目している特定の条件の下での、条件付確率を 「事後確率」と言うのです。最低限の用語は理解しましょう。 ｂ を知らない状態で、その比較をする為には、貴方が ＞ aが１とすると振りなおした場合のほうが２.５有利となる ＞ aが２とすると振りなおした場合のほうが１.５有利となる ＞ aが３以降も同様に考えることができます。 と書いているのと同様に、場合分けが必要です。 A No.9 で、私が ＞ 質問が、 ＞ 1回目を振る前に「１回目の合計が b だったら、もう一度振りなおしますか」と ＞ 聞かれたらどうしますか。 ＞ であれば、「b < 7 なら振りなおします。b > 7 なら振りなおしません」です。 と書いた通りですね。 あるいは、場合分けの替りに、 ｂ の確率分布を考慮して、期待値を求めても良い。 それが、手元の封筒の「事前期待値」です。 つまり、 ＞ そしてそれぞれがおきる確率が１/６ということです。 ＞ この場合６つの［事後］を考えることにより［事前］と同じ状態になります。 ということです。「事前」の状態を考える為には、単一の「事後」ではなく、 全ての「事後」をその確率に応じて総合しなければ、「同じ状態」になりません。 手元の封筒の「事前期待値」を求めるには、 ｂ にその確率密度を掛けて積分（総和）すれば良いのですが、 ｂ の確率密度が分からないことには、計算しようが無いですね。
お礼
>ｂ を知らない状態で、その比較をする為には、・・・場合分けが必要です。 ｂを特定していないので、場合わけしなくてもｂと期待値のｂ（２４ｐ+1）/５が比較できればよいとおもいます。 サイコロの場合はaと定数３．５の比較だから場合わけをしました。 もし場合わけをしたとしても ｂ＝1とした場合は１と（２４ｐ+1）/５との比較 ｂ＝２とした場合は２と２×（２４ｐ+1）/５との比較 となり常に比率は一定です。 ［B］の状態で有利さが同じとするならばｐ＝１/６とするしかないのではないですか。 ［B］の状態は二つの封筒から一つを選んだ状態つまりｂを選んだ状態です、ただしｂは具体的にいくつかわかりません。ただそのｂに対して相手の封筒の中身はｐを使うことにより期待値を求めるもとはできます。
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
b の値を未だ知らないとしても、 確定した b の値と、もう一方の封筒の期待値 b(24p+1)/5 を比較しているなら、 それは「事後の」有利さの比較です。 中身の５という数字は別に特別な数字ではなく、中身の数字が２でも３でも、 そして、未知の b でも、手元の封筒の確定値と、もう一方の封筒の期待値とを 比較する意義は同じですから。 「事前の」有利さの比較であれば、ふたつの封筒の期待値同士を比較しなくては なりません。手元の封筒の中身は、未だ知れていないのですから。 ふたつの封筒の組が (b, 5b) または (b, b/5) で、それぞれの確率が p と 1-p である場合、手元の封筒の期待値も、計算してみると b(24p+1)/5 となり、 これは、確かに、もう一方の封筒の期待値と一致します。 No.8 補足の類題は、本題とどう関係するのかが判りません。 わざわざ「合計が７だったら」という設定にしてあるのは、 私が期待値最大戦略を採るのか否かを訊ねて、 話題をゲーム理論に替えてしまう意図なのでしょうか？ もし、質問が、 1回目を振る前に「１回目の合計が６だったら、もう一度振りなおしますか」と 聞かれたらどうしますか。 だったら、私の答えは「振りなおします」です。 質問が、 1回目を振る前に「１回目の合計が b だったら、もう一度振りなおしますか」と 聞かれたらどうしますか。 であれば、「b < 7 なら振りなおします。b > 7 なら振りなおしません」です。 これらの判断は b の値に基づいており、「１回目を振る前に」聞かれたとしても 「事後の」状態を比較していることに変わりはありません。
お礼
>確定した b の値と、もう一方の封筒の期待値 b(24p+1)/5 を比較して>いるなら、 >それは「事後の」有利さの比較です。 ということは私の前のお礼で述べた［B］封筒を選択したが中身を見ていないは事後に該当し［A］とは違っているということですか。 私は［A］［B］については、前にのべたようにどちらも事前で、確率、期待値は同じだと考えています。 ［B］の状態で、［もうひとつの封筒と換えますかと問われたら］ 当然今選んだ封筒の中身ともう一方の中身の期待値を考え判断するのではないですか、選んだ封筒の中身はいくつかわからないのでｂと仮定すればｂと期待値ｂ（２４ｐ+1）/５の比較になるのではないですか ［A］［B］がともに事前だと考えればｂ＝ｂ（２４ｐ+1）/５ となりますが［A］と［B］が同じかどうかについて、ぜひ回答をお願いいたします。
補足
なかなか意見のかみ合わないまま膠着状態になったので、今月中には締め切ろうと思います。 ＞確定した b の値と、もう一方の封筒の期待値 b(24p+1)/5 を比較し＞ているなら、 ＞それは「事後の」有利さの比較です。 この場合「事後」という言葉に惑わされてはいけません。「事前」と同じ状態です。 サイコロを２回振ってその値を比較する問題で考えてみましょう。 サイコロを振る前には、どちらの期待値も３．５で同じとなります。 では、振る前に１回目でaの目が出た場合を考えたときこれはaと３.５との比較になります。aと３.５は比較できないので場合わけとなります。 aが１とすると振りなおした場合のほうが２.５有利となる aが２とすると振りなおした場合のほうが１.５有利となる aが３以降も同様に考えることができます。 そしてそれぞれがおきる確率が１/６ということです。 この場合６つの［事後］を考えることにより［事前］と同じ状態になります。 選んだ封筒の中身をｂとしてとあるのは、形は［事後］となっていますがｂを特定していない以上［事前］と同じ状態になります。 ［事前］［事後］という言葉に惑わされてはいけません。 選んだ封筒の中身をｂとした以上、そのｂに対してのもう一方の期待値と比較すべきです。 ＞「事前の」有利さの比較であれば、ふたつの封筒の期待値同士を比較＞しなくては ＞なりません。手元の封筒の中身は、未だ知れていないのですから。 またサイコロを２回振る問題に戻りますが、貴方は１回目に２が出た場合期待値同士で比較するのではなく、出た２と２回目の期待値を比較するとおしゃったのではないですか、仮定とはいえ手元の封筒の中身をｂとしたら、ｂともう一方の期待値との比較でなければならないではないですか。 あなたはNo７で ＞たぶん、良くないのだと思います。 ＞ここでも、異なる問題を混同させようと試みていますね？ ［B］の状態で、［もうひとつの封筒と換えますかと問われたら］ その答えが ［どちらの有利さも同じ］ ［どちらが有利かはわからない］ の二つがあってはおかしくないですか ですからこのときの答えは［どちらの有利さも同じ］になるべきです。 このとき、封筒を選んだ人は自分の封筒の中身［ｂ］ともう一方の封筒の期待値を比べるはずです。 内容が重複するところがありますがお許しください。 ありがとうございました。
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
＞ 事前においてはどちらの有利さも同じ ＞ 事後はどちらが有利かはわからない ＞ で良いでしょうか たぶん、良くないのだと思います。 ここでも、異なる問題を混同させようと試みていますね？ 事前において、未開封の封筒を選ぶことと、もう一方の封筒を選ぶことの有利さは同じ。 事後において、５万入った封筒を選ぶことと、もう一方の封筒を選ぶことでは どちらが有利かわからない。 判っていたことが判らなくなったのではなく、 事前と事後では、異なる問題を解こうとしているのです。 「どちらの封筒が有利か」という言葉だけは共通していても、 事前と事後の問題では、異なる封筒の組を比べています。 未開封の封筒と５万の入った封筒は、 振る前のサイコロと振った後の封筒ぐらい異なる …というのが、No.6 No.7 で述べたことです。 事前においても、もう一方の封筒と、ふたつの封筒とは別に用意した５万とでは どちらを取るのが有利かは判りません。手元の封筒を開けて５万を見たことで 判らなくなったのではなく、もう一方の封筒の中身が５万より大きいか否かは、 最初から判らないままなのです。 ＞ どちらの有利さも同じとするなら ＞ ｂ＝ｂ（２４ｐ+１）/５ ＞ ｐ＝1/6ではないですか その期待値は、手元の封筒の中身 b を見た後の、事後期待値です。 どちらの有利さも同じとするなら、確かに、p = 1/6 としたことになります。 p は判らないはずだから、「事後はどちらが有利かはわからない」はずだ …というのが、[意見２]の考え方です。 ｂ（２４ｐ+１）/５ は、事前期待値ではありませんから、 「事前においてはどちらの有利さも同じ」としても、p = 1/6 とは関係がありません。
お礼
＞たぶん、良くないのだと思います。 どの点がよくないのかもう少し具体的に教えていただけるとありがたいです。 事前とは前回同様中身をみる前と考えてください。 ＞[A] 正しい立方体のサイコロを、これから振る。 ＞[B] 振ったサイコロに、革製のカップが被せてある。 これは前回の質問で貴方が回答されたものを引用したものですが サイコロの１の目が出る確率を考えた場合 [A]は当然1/6 [B]についてはカップの中では1か1でないか確定しているので確率は0又は1であるというような考えは私は全くありません カップが被せてあることにより、数字を決める情報が一切ない以上 中の数字が決定していても、それは外から見ている人にとっては[A] と全く同じ状態であり確率は1/6 私の認識ではこれは事前です。 前置きが長くなりましたが今回の場合 [A]二つの封筒を選ぶ前の状態 [B]二つの封筒からひとつを選んだが、中身を見ていない状態 この二つを事前として、２つの封筒の有利性、期待値等すべて同じだと考えることに同意していただけますか。 ＞ｂ（２４ｐ+１）/５ は、事前期待値ではありませんから とありますが、中身を見る前にこのように考えることに、論理的に矛盾がありますか。 中身をみたあとは期待値はｂ（２４ｐ+１）/５ ではなく ５（２４ｐ+１）/５ とｂの値が確定しています。 事前において封筒を選んだ人は考えます。 中身がｂであったとしたら（中身を見ていないので当然５とは判りません）はじめに用意された封筒は（ｂ、5ｂ）か（1/5ｂ、ｂ）のどちらであることが判ります、このときもう一方の封筒の中身の期待値は ｂ（２４ｐ+１）/５である このことは前回のお礼で書いたことですが、これはあっていますか。 もし、あっているとすれば、事前においてはどちらを選んでも有利さは変わらない、つまりｂと期待値ｂ（２４ｐ+１）/５を比較することになりｐ＝1/6という結論が出てきませんか。 中身をみて、ｂが５であることが確認できたときは当然５ともう一方の封筒の期待値との比較です。 もう一方の期待値は５（２４ｐ+１）/５でｐ＝1/6ですから、もう一方の期待値も５ ここでひとつ類題で考えてください 正しいサイコロを２つふり出た目の合計がなるべく大きくなるようにしたいとき 1回目を振る前に１回目の合計が７だったら、もう一度振りなおしますかと聞かれたらどうしますか。
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
＞ 振りなおしたときの期待値で考えれば3.5これは２より大きいので振りなおすべき 賛成です。 一回目のサイコロも期待値は 3.5 でしたが、3.5 と 3.5 を比較して「振りなおしても同じ」 とするのではなく、既に出た 2 と期待値 3.5 を比較して「振りなおすべき」と判断しましたね？ その考え方を、封筒の問題に当てはめれば、 手元の封筒の期待値 3a と、もう一方の封筒の期待値 3a を比較するのではなく、 手元の封筒の中身 5 と、もう一方の封筒の期待値 3a を比較して、有利不利を判断する ことになります。ただし、サイコロの類題とは違って、この場合は 3a の値が判らないのですが。 ＞ 交換しても同じだから交換しないとしたものが、中身を確認してからは、 ＞ もう一方の中身が判らないから、交換すべきかわからないと変わる点です。 「中身を見ても、何も変わらない」というのが、No.6 の要点でした。 封筒を開ける前に「判っていた」のは、未開封の封筒を交換しても有利さは同じだということで、 開封後に「判らない」のは、中身が５の手元の封筒ともう一方の封筒を交換すると有利かということです。 「封筒を交換」という言葉だけは共通ですが、判断したいのは、それぞれ別個の問題です。 言葉が横滑りして、ふたつの問題を混同するから、何かが変わったような錯覚をするのです。 手元の封筒を開けて、中身が５と知った後も、 「未開封の封筒を交換しても有利さは同じだった」という過去の事実は、変化しません。 ＞ 中身の５という数字は別に特別な数字ではなく、中身の数字が２でも３でも貴方のいわれるように ＞ 中身を見たあとは、どちらが有利かわからないとなり、このことは中身を見る前からわかるのではないですか。 ５という数字は別に特別な数字ではないので、中身の数字が２でも、３でも、５の場合と同様に、 それらの数字と、もう一方の封筒の中身のどちらが大きいかは判りません。 知っている値と知らない値の大小関係は判らない。この事実は、仰るとおり、中身を見る前から判っています。 そのことと、大小関係が判るか？ということは、話が違います。 ここでも、「判る」ということばの横滑りで、意味のスリ替えが行われていますね。
お礼
＞言葉が横滑りして、ふたつの問題を混同するから、何かが変わったような錯覚をするのです。 の意味がよくわかりませんが、もう一度問題を整理させてもらいます。 中身を見る前を事前、見た後を事後と考えてください。 事前においてはどちらの有利さも同じ 事後はどちらが有利かはわからない で良いでしょうか 事前において封筒を選んだ人は考えます。 中身がｂであったとしたら（中身を見ていないので当然５とは判りません）はじめに用意された封筒は（ｂ、5ｂ）か（1/5ｂ、ｂ）のどちらであることが判ります、このときもう一方の封筒の中身の期待値は ｂ（２４ｐ+１）/５・・前回の質問参照 どちらの有利さも同じとするなら ｂ＝ｂ（２４ｐ+１）/５ ｐ＝1/6ではないですか
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
＞ それが中身の５を見たとたんに、［もう一方の封筒の期待値が選んだ封筒に比べて大きいか小さいか判らなくなる］ ＞ という点が疑問です。 変なレトリックを遣うから、混乱するのです。 「中身の５を見たとたんに～判らなくなる」ではなく、もっと普通に、 「もう一方の封筒の中身は判らないのだから、手元の封筒だけ５と判っても、どちらが大きいか小さいか判らない」 と言ってみましょう。少し、見通しが良くなるはずです。 中身の５を見たことで、それまで判っていたことが判らなくなる訳ではありません。 ふたつの封筒の組が、現在用意されている金額の組 (a, 5a) であるという条件下での、条件付期待値を比べると、 手元の封筒の期待値と、もう一方の封筒の期待値は、どちらも 3a で同じです。 この事実は、手元の封筒を開けて、中身が５と知った後でも変わりません。 ただ、手元の中身が５と知った後では、もう一方の封筒の期待値と比較したいのは、 手元の封筒の期待値ではなく、実際の中身５のほうだ…というだけのことです。 判っていたことが判らなくなったのではなく、別のことが知りたくなったが、そっちの答えは知りえない という話なのです。 前質問の A No.21 に書いた例を、再掲しておきます。 ＞ 各面が 1/6 づつの確率で出る正しいサイコロがある。 ＞ １回振ったら、２の目が出た。なるべく大きい目を出したいと思うとき、 ＞ 振りなおすと有利だろうか？
お礼
arrysthmia様の言われることは理解できますが、 現実に封筒を選んで中身を見ない状態では、どちらの封筒の中身も期待値として考えれば同じであるため交換しますかと問われれば、交換しても同じだから交換しないとしたものが、中身を確認してからは、もう一方の中身が判らないから、交換すべきかわからないと変わる点です。中身の５という数字は別に特別な数字ではなく、中身の数字が２でも３でも貴方のいわれるように中身を見たあとは、どちらが有利かわからないとなり、このことは中身を見る前からわかるのではないですか。 また最後の質問の意味することが良くわかりません。 ＞ 各面が 1/6 づつの確率で出る正しいサイコロがある。 ＞ １回振ったら、２の目が出た。なるべく大きい目を出したいと思うとき、 ＞ 振りなおすと有利だろうか？ 振りなおしたときの期待値で考えれば3.5これは２より大きいので振りなおすべき お付き合いいただきありがとうございます。
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
御指摘どおり、No.2 は間違いでした。 反省して訂正します。 「封筒の組が (5,25) である」という事象を B と書くと、 P(X = 5, Y = 25) + P(X = 25, Y = 5) = P(B) P(X = 5, Y = 25) = P(X = 25, Y = 5) より、P(X = 5, Y = 25) = P(B) / 2 。 よって、P(X = 5) = { P(A) + P(B) } / 2 となるため、 P(Y = 1 | X = 5) = P(A) / { P(A) + P(B) } です。 オッズ比 P(A) : P(B) が未定義だから P(Y = 1 | X = 5) も未定義 …と、すべきでしたね。
お礼
［意見２］について説明されていることは理解できます。ただ質問に書いたように、選ぶ前はどちらの封筒も期待値は３aで同じため、どちらを選んでも同じです。 ひとつの封筒を選んで中を見る前に、交換しますかと問われれば、やはりどちらの封筒の中身の期待値も同じだから交換しても意味がないとなると思われます。 それが中身の５を見たとたんに、［もう一方の封筒の期待値が選んだ封筒に比べて大きいか小さいか判らなくなる］という点が疑問です。 回答ありがとうございました。
- fef
- ベストアンサー率64% (16/25)
ANo.1, ANo.3 の者です． すみません，読み間違えていました． 意見2でも条件付き確率を用いていますね． あと，誤解を招かないように述べておきますが， 意見1が正しいとは考えていません． 条件付き確率を用いていることを踏まえた上で， 自分も意見2が正しいと思います． 実際，ANo.3で挙げた例の通り， 条件付き確率の値が定まりませんものね．
お礼
［意見２］について説明されていることは理解できます。ただ質問に書いたように、選ぶ前はどちらの封筒も期待値は３aで同じため、どちらを選んでも同じです。 ひとつの封筒を選んで中を見る前に、交換しますかと問われれば、やはりどちらの封筒の中身の期待値も同じだから交換しても意味がないとなると思われます。 それが中身の５を見たとたんに、［もう一方の封筒の期待値が選んだ封筒に比べて大きいか小さいか判らなくなる］という点が疑問です。 回答ありがとうございました。
- fef
- ベストアンサー率64% (16/25)
arrysthmiaさんは，事象A: 「封筒の組が (1, 5) である」の余事象を 「封筒の組が (5, 25) である」とされていらっしゃいますね． ということは，すでに封筒が選ばれ， 5 が得られているときの話をされていらっしゃるのですよね． つまり，全事象として， U: 「5 が得られた」 を考えておられるのですよね． そうでないと， A でない <=> (5, 25) である とは言えませんものね． さて，このとき， P(A) = P(「封筒の組が (1, 5) である」 | X = 5) = P(「封筒の組が (1, 5) である」) / P(X = 5), P(X = 5, Y = 1) + P(X = 1, Y = 5) = P(「封筒の組が (1, 5) である」) であり，P(X = 5) = 1 でなければ P(X = 5, Y = 1) + P(X = 1, Y = 5) = P(A) は成り立ちません． ですから，お書きになっている関係 P(Y = 1 | X = 5) = 2 P(X = 5, Y = 1) が成り立つとは言えません． 実際，極端な例として，封筒が (1, 5) と (2, 10) の 2 封しかない場合を考えますと， P(Y = 1 | X = 5) = 1, P(X = 5, Y = 1) = 1/4 ですから，成り立ちませんよね．
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
前の質問で、[意見２]を述べた者です。 条件付き確率の定義より、 P(Y = 1 | X = 5) = P(X = 5, Y = 1) / P(X = 5) 。 X = 5 のとき Y = 1 or Y = 25 が成立するので、 P(X = 5) = P(X = 5, Y = 1) + P(X = 5, Y = 25) 。 「封筒の組が (1,5) である」という事象を A と書くと、 P(X = 5, Y = 1) + P(X = 1, Y = 5) = P(A) P(X = 5, Y = 1) = P(X = 1, Y = 5) より、P(X = 5, Y = 1) = P(A) / 2 。 P(X = 5, Y = 25) + P(X = 25, Y = 5) = P(not A) P(X = 5, Y = 25) = P(X = 25, Y = 5) より、P(X = 5, Y = 25) = { 1 - P(A) } / 2 。 以上から計算して、P(X = 5) = 1/2 となるため、 P(Y = 1 | X = 5) = P(X = 5, Y = 1) × 2 の関係があります。 P(X = 5, Y = 1) が未定義であれば、 P(Y = 1 | X = 5) も未定義となりますね？
- fef
- ベストアンサー率64% (16/25)
初めに得られる数を確率変数 X で表し， 交換して得られる数を確率変数 Y で表します． 今回の問題設定では 5 を選んだ段階での話をしているので， 条件付きの期待値を求めるべきでしょう． したがって，用いるべき確率は 条件付き確率 P(Y = 1 | X = 5) と P(Y = 25 | X = 5) ですね． 意見2ではこれらの確率でなく， P(X = 5, Y = 1), P(X = 5, Y = 25) を使ってしまっています． ここで考えている期待値は，その方法では求まりません． 意見3はそもそもの期待値の定義を逸脱して話をしているように思えます．
お礼
ながい間お世話になりました。 貴方の言われることも１００％ではありませんがほぼ理解いたしました。 p が b 毎に異なる可能性を考えていませんでした。