独立性？ 期待値

質問

箱の中に同じ大きさの白玉２個、青玉５個、赤玉３個、計１０個
入れてランダムに１個を取り出す。
玉にはそれぞれ１または－１の数字が書かれており、白玉１個が１
他の１個が－１、青玉は４個が１、他の１個が－１、
赤玉は１個が１、他の２個が－１であるとする。
確率変数Xを、取り出した玉に書かれた数が１のときX=１
取り出した玉に書かれた数が－１のときX=－１で定め、
確率変数Yを、取り出した玉が白のときY=１、青のときY=２、
赤のときY=３で定める。

(1)確率変数X,Yは独立がどうか判定し、理由とともに述べよ。

(2)X,Yそれぞれの平均値(期待値) E[X],E[Y]を求めよ。

(3)X,Yの共分散C(X,Y)を求めよ。

(1):独立ではない。
理由：
Y=1の場合は確率1/2でX=1
Y=2の場合は確率4/5でX=1
などと条件付確率がことなる。もし独立ならばY=1やY=2など条件をつけてもXのでかたは変わらない。

(2):
X=1の確率6/10,
X=-1の確率4/10なので
E(X)=1/5.

Y=1の確率2/10,
Y=2の確率5/10,
Y=3の確率3/10,
なので
E(Y)=21/10.

となったんですが、これでいいのか分からないので教えてください。

あと(3)が分からないので教えてほしいです。お願いします！

回答No.1

kumipapa · ベストアンサー

こういう計算を手計算でさせるとは・・・恐るべし。計算間違いしそうですね。
まず最初に、各々の場合の確率を表に表してみます。
　　　　　Ｘ＝－１　 Ｘ＝１
Ｙ＝１　　1/10　　　1/10　　　2/10
Ｙ＝２　　1/10　　　4/10　　　5/10
Ｙ＝３　　2/10　　　1/10　　　3/10
　　　　　 4/10　　　6/10
表の最下段の行が、Ｘ＝ｎの周辺確率Ｐ（Ｘ＝ｎ）
表の右端の列が、Ｙ＝ｍの周辺確率Ｐ（Ｙ＝ｍ）
表の中が、Ｘ＝ｎかつＹ＝ｍの同時確率Ｐ（Ｘ＝ｎ，Ｙ＝ｍ）
です。で、本題に入ります。
（１）独立ではないですね。
同時確率が周辺確率の積で表わされれば独立、というのが一般的な定義になるかと思います。
この問題では、
Ｘ＝－１かつＹ＝１の同時確率Ｐ（Ｘ＝－１，Ｙ＝１）＝1/10であるが、周辺確率の積はＰ（Ｘ＝－１）Ｐ（Ｙ＝１）＝2/25であり、同時確率が周辺確率の積で表せないので、Ｘ，Ｙは独立ではない。
勿論、条件付確率が周辺確率と等しくないことから独立ではないと主張しても間違いではありません。

（２）　あってます。
（３）
Ｃｏｖ（Ｘ，Ｙ）＝Ｅ（ＸＹ）－Ｅ（Ｘ）Ｅ（Ｙ）
から求めてみましょう。
上の表を注意深くおいかけて、Ｅ（ＸＹ）を求めます。表のＸ、Ｙの値と同時確率を掛けたものを全部足せばいいです。
Ｅ（ＸＹ）＝ (-1)・1・1/10 + 1・1・1/10 (X=-1,1, Y=1)
+ (-1)・2・1/10 + 1・2・4/10　　　　 (X=-1,1, Y=2)
　　　　　　+ (-1)・3・2/10 + 1・3・1/10 (X=-1,1, Y=3)
　　　　　＝（-1+1-2+8-6+3)/10
　　　　　＝ 3/10
です。
Ｅ（Ｘ）＝ 1/5, Ｅ（Ｙ）＝ 21/10より、
Ｃｏｖ（Ｘ，Ｙ）＝3/10 - 21/50 = - 3/25
です。

お礼

ありがとうございました！