期待値の問題

質問

宜しくお願いします。

１個のさいころを三回投げ、出る目の数を順に、a,b,cとして、
Ｘ=a＋２b＋３c
によって確率変数Ｘを定める時、Ｘの期待値を求めよ。

結論は当たってたのですが、過程のほうは解説見てもいまいちわかりませんでした。ご教授お願いします。

回答No.5

kumipapa · ベストアンサー

> Ａの総和というのは、a＝（１，２，３，４，５，６）の総和ということですよね？ということは、1＋2＋3＋4＋5＋6＝21ではないのですか・・？

とのことですが、質問者さんの過去のコメントにあった模範解答で言っている総和は違います。

＞　模範解答は、
３回の目の出方6の３乗通りについて
a＋２b＋３c・・・・(1)
の総和を求め、6の３乗で割ればよい。
a、b、cの総和をそれぞれＡ，Ｂ、Ｃとすると
(1)の総和＝Ａ＋２Ｂ＋３Ｃ
6の３乗通りのうち、A＝１（ｂ、ｃは自由）であるものが6の２乗通りあり、a＝２，３，４，５，６であるものも6の２乗通りずつあるから、
Ａ＝（１＋２＋３＋４＋５＋６）×6の２乗
　＝２１×6の２乗

と模範解答にはありましたね。

くどいようですが、先の回答のように、a,b,cの全ての場合を書き出して、それぞれについて、a+2b+3cを計算してみると・・・

目の出方　→　a+2b+3c
(1,1,1)　→　1+2*1+3*1 = 6
(1,1,2)　→　1+2*1+3*2 = 9
・
・
(1,1,6)　→　1+2*1+3*6 = 21
(1,2,1)　→　1+2*2+3*1 = 8
(1,2,2)　→　1+2*2+3*2 = 11
・
・
(1,6,6)　→　1+2*6+3*6 = 31
(2,1,1)　→　2+2*1+3*1 = 7
(2,1,2)　→　2+2*1+3*2 = 10
・
・
(6,6,6)　→　6+2*6+3*6 = 36

です。で、模範解答では、このリストの右端の数字（a+2b+3c)を全部足して、それを6^3で割ることを提案しています。
で、模範解答では、a+2b+3cの総和＝A+2B+3Cおいて、a,b,cの部分の総和をA,B,Cと表しており、aの総和Aとは、上のリストのa+2b+3c=...の全て場合についてのaの総和を言ってます。上のリストでは、a+2b+3c=...のaの部分には、1～6が各6^2回づつ出てくるので、A=(1+2+3+4+5+6)×6^2としているわけです。

お礼

・・、解けました！！！
a=１というのが6^2個あるっていうことですね・・！！
kumipapaさんのように一から丁寧に書き連ねていくのがいかに大事ということが改めて思い知りました＾＾；

本当に度々の回答感謝しております。
本当にありがとうございました。

回答No.4

kumipapa

#3です。

＞　a＋２b＋３c・・・・(1)
＞　の総和を求め、6の３乗で割ればよい。
＞　a、b、cの総和をそれぞれＡ，Ｂ、Ｃとすると
＞　(1)の総和＝Ａ＋２Ｂ＋３Ｃ

この部分はいいですよね。全ての目の出方の組み合わせは6^3通り。
そのうち、a=1である組み合わせは、b=1～6, c=1～6の6^2通りあります。故に、aの総和Aのうち、a=1の場合の分は1×6^2。同様にa=2の場合も6^2通りあるので、aの総和Aのうちa=2の場合の分は2×6^2です。結局、aの総和Aは、
A=(1+2+3+4+5+6)×6^2=21×6^2
同様に、
B=C=(1+2+3+4+5+6)×6^2=21×6^2
です。
少々くどくなりますが、a,b,cの組み合わせを（a,b,c)と表して全部書き出すことを考えると、
(1,1,1)
(1,1,2)
・
・
(1,1,6)
(1,2,1)
(1,2,2)
・
・
(1,6,6)
(2,1,1)
(2,1,2)
・
・
(6,6,6)
　 ↓
要素a,b,cごとに加算することを考えると、aの欄には1から6がそれぞれ6^2回出てくるから、A=(1+2+3+4+5+6)×6^2=21×6^2、B,Cも同様です。

よって、a+2b+3cの総和A+2B+3C=6×21×6^2=21×6^3
これを全ての組み合わせの数6^3で割って、期待値は21となります。

お礼

再度の回答ありがとうございます。

理解力が乏しくて申し訳ないのですが、そもそも、Ａの総和というのは、a＝（１，２，３，４，５，６）の総和ということですよね？ということは、1＋2＋3＋4＋5＋6＝21ではないのですか・・？

回答No.3

kumipapa

確率変数 X, Yと定数α,βに対して、Z＝αX＋βYとするとき、X,Y,Z それぞれの期待値をE(X), E(Y), E(Z) で表すと、
E(Z) = E(αX+βY) = αE(X)+βE(Y)
が成立します。

ご質問の場合、a, b, cはそれぞれさいころを振ったときに出る目の数という確率変数と見なすことができ、

E(X) = E(a+2b+3c) = E(a)+2E(b)+3E(c)

で、#2さんのおっしゃる通り E(a)=E(b)=E(c)=3.5 ですので、

E(X) = 6 E(a) = 21

です。

お礼

回答ありがとうございます。

模範解答は、
３回の目の出方6の３乗通りについて
a＋２b＋３c・・・・(1)
の総和を求め、6の３乗で割ればよい。
a、b、cの総和をそれぞれＡ，Ｂ、Ｃとすると
(1)の総和＝Ａ＋２Ｂ＋３Ｃ

※
6の３乗通りのうち、A＝１（ｂ、ｃは自由）であるものが6の２乗通りあり、a＝２，３，４，５，６であるものも6の２乗通りずつあるから、

Ａ＝（１＋２＋３＋４＋５＋６）×6の２乗
　＝２１×6の２乗
※
同様にＢ＝Ｃ＝２１×6の２乗
よって求める期待値は、
２１×6の２乗（１＋２＋３）/６＝２１

となっています。※で囲まれた部分がよくわかりません。まことに勝手ながら、この解説をお願いしたいです。
（6の２乗などを記号で表せなくてすみません；；）

回答No.2

DONTARON

正しいかどうか自信はありませんが、出る目の期待値は（１＋２＋３＋４＋５＋６）÷６＝3.5なのでＸ＝ａ＋２ｂ＋３ｃ＝3.5＋２×3.5＋３×3.5＝21となりましたが、どうでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。

模範解答はDONTARONさんよりはなんだか複雑で、僕もDONTARONさんと同様のプロセスでした。

回答No.1

asuncion

ちなみに、結論は何でしたか？

お礼

回答ありがとうございます。
２１でした。