高校数学 座標 直線の束

質問

夜分に失礼します。

次の問題について質問させて下さい。
問「直線L:(k-1)x-2(k-3)y-4(k+1)=0　はkの値によらず定点を通る事を示せ。また、この直線が3つの点(2,8)、(10,6)、(6,12)を頂点にもつ三角形と共有点を持つためのkの条件を求めよ」

前者は、kの恒等式であるために満たすべきx、yの値として、x=8 y=2 となるので、Lは点(8,2)を常に通る。

後者が解けない(考え方がわからない)のですが、取り敢えず途中までやってみました。
まず、図を描いたら、Lはその傾きが-1から負の無限大、または2から正の無限大の範囲にあるときと、Lがx軸と垂直である場合(k=3)が三角形と交わるのかな、と考えました。
後者はk=3 で良いですが、
前者の場合では
傾き≧2 から k≦11/3
傾き≦-1 から k≦7/3
となるのかなぁと思ったのですが微妙でして……。
k=3では明らかに交わるのだから、k≠3 の場合kが満たすべき不等式をどのような考え方で導いていけばよいのか、考え方が分らなくなってしまいました。
直感的には、点(2,8)と交わるとき、k=7/3＜3
点(10,6)と交わるとき、k=11/3＞3 となってるから、k=3も含まれて
7/3≦k≦11/3
ではないかと思って略解みたらあってたのですが、推論があやふやなので、少し捻られたら対応出来なそうで不安です。
どのように考えれば良いでしょうか？アドバイスいただけると有り難いです。宜しくお願い致します。
(無駄に長くなってしまい失礼しました。)

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

＞点A(2,8)、点B(10,6)、点C(6,12)とすると2点AB、2点AC、2点BCを通る直線は
それぞれ、y=-1/4x+17/2・・・(1)y=x+6・・・(2)y=-3/2x+21・・・(3)
y={(k-1)/2(k-3)}x-4(k+1)/2(k-3)・・・(4)として(1)、(2)、(3)それぞれとの
交点のx座標は、(42k-94)/(3k-5)、(16k-32)/(5-x)、(23k-61)/(2k-5)
(4)と線分ABが交点をもつ条件は2≦(42k-94)/(3k-5)≦10・・・(5)
(4)と線分ACが交点をもつ条件は2≦(16k-32)/(5-x)≦6・・・・・(6)
(4)と線分BCが交点をもつ条件は6≦(23k-61)/(2k-5)≦10・・・(7)
(5)より7/3≦k≦11/3、(6)より7/3≦k≦31/11、(7)より31/11≦k≦11/3
よって、点(2,8)、(10,6)、(6,12)を頂点にもつ三角形と共有点を持つための
kの条件は、7/3≦k≦11/3

お礼

傾きについて不等式を立てると、そんなに論理的にスマートに最後の不等式までたどり着けるのですね……。流石です。

ご丁寧に説明して下さり、ありがとうございました。