複素積分の問題です。

質問

∫-∞~∞x^2/(x^4+1)dxを複素積分で求めるとどうなるでしょうか。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

I=∫[-∞→∞]x^2/(x^4+1)dx
複素積分にして
=lim[R→∞]∫[-R→R] z^2/(1+z^4) dz
積分路C1:-R→Rに,積分路C2:R→R+iR,C3:R+iR→-R+iR,C4:-R+iR→-Rを加えて
=lim[R→∞]{∫[C1] z^2/(1+z^4) dz +∫[C2] z^2/(1+z^4) dz
+∫[C3] z^2/(1+z^4) dz +∫[C4] z^2/(1+z^4) dz}
=lim[R→∞]∫[C1+C2+C3+C4] z^2/(1+z^4) dz
単一閉ループC=C1+C2+C3+C4にして
=lim[R→∞]∫[C] z^2/(1+z^4) dz
=∫[C] z^2/(1+z^4) dz
f(z)=z^2/(1+z^4)の極の内Re z≧0の極（閉路積分路C内の特異点）は
　1+z^4=0を解いて　z=(±1+i)/√2
と得られる。
f(z)の留数を求めると
Res{f(z),z=(1+i)/√2}
=f(z)*(z-(1+i)/√2)|[z→(1+i)/√2]
=z^2/{(z^2+i)(z+(1+i)/√2)}|[z→(1+i)/√2]
=i/{2i*2(1+i)/√2}=(1-i)√2/8
Res{f(z),z=(-1+i)/√2}
=f(z)*(z+(1-i)/√2)|[z→(-1+i)/√2]
=z^2/{(z^2-i)(z-(1-i)/√2)}|[z→(-1+i)/√2]
=-i/{-2i*(-2)(1-i)/√2}=-(1+i)√2/8
留数定理より
I=2πi{(1-i)√2/8-(1+i)√2/8}
=2πi(-2i√2/8)
=π/√2 ←　(答え)

お礼

ありがとうございました。自分でもう一回解いてみます。

回答No.2

alice_44

lim[R→∞]∫[-R→R] z^2/(1+z^4) dz
=　lim[R→∞]{ ∫[C1] z^2/(1+z^4) dz + ∫[C2] z^2/(1+z^4) dz
　　　　　　　+∫[C3] z^2/(1+z^4) dz + ∫[C4] z^2/(1+z^4) dz }
には、理由が要る。(成り立つけど)

替わりに、半円周 |z| = R, Im z ≧ 0 上を
z = -R から z = R まで行く経路を C0 として、
lim[R→∞]∫[-R→R] z^2/(1+z^4) dz
=　lim[R→∞]{ ∫[C1] z^2/(1+z^4) dz + ∫[-C0] z^2/(1+z^4) dz }
から留数定理へ持ち込んでも、いいんじゃないかな。

R が十分大きいとき、C0 上で
|z^2/(1+z^4)| = |z^2|/|1+z^4| < |z^2|/|2z^4| = 1/(2R^2)
だから、
|∫[-C0] z^2/(1+z^4) dz| < ∫[-C0] |z^2/(1+z^4)| dz < ∫[-C0] 1/(2R^2) dz
= {1/(2R^2)}∫[-C0]dz = {1/(2R^2)}(πR) = π/(2R) → 0　; when R→∞

よって、
lim[R→∞]∫[-R→R] z^2/(1+z^4) dz
=　lim[R→∞] ∫[C1+(-C0)] z^2/(1+z^4) dz

留数は、Im z ≧ 0 の特異点 z = (±1+i)/√2 について合計する。

お礼

ありがとうございました。