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二次元開円盤から3次元数空間への写像の級
f: D^2 → R^3, f(x,y) = ( x, y, (x^2 + y^2)^1/2 ) f: D^2 → R^3, f(x,y) = ( x, y, x^2 + y^2 ) 以上のふたつの写像(関数と呼ぶべきですか?)はそれぞれ、C何級でしょうか。
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「fをユークリッド平面R2から実数直線R1への写像としてつぎのように定める。R2∋X=<x1,x2>に対して、f(x)=x1 このとき、fはR2からR1への連続開写像であることを証明せよ。」 以下のような流れで証明できて合っていますでしょうか? また、もっと違う方法、簡単な方法はありますでしょうか? 宜しくお願いします。 ------------------------------------------------------- X(x1,x2)とY(y1,y2)の距離d(ユークリッド空間R2の距離)は d(X,Y)=√{(x1-y1)^2+(x2-y2)^2} f(X)とf(Y)の距離d(ユークリッド空間R1の距離)は d(f(X),f(Y))=√(x1-y1)^2 そうだとすると √(x1-y1)^2 <= √{(x1-y1)^2+(x2-y2)^2} だから ∀ε>0,∃δ>0, d(X,Y) < δ=ε ⇒ d(f(X),f(Y)) <= d(X,Y) < ε fは連続である。 fによってR2の開集合はR1の開集合に写像されることは、連続性と同じ理由で明らか。 ∵Xの任意のε(X)近傍はf(X)のε(X)近傍の上に写像されるから、R2の開集合はR1の開集合に写像されることを意味していて、fは開写像である。 ∴fはR2からR1への連続開写像である。 ----------------------------------------------------------------
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お礼
丁寧に教えてくださってありがとうございます! 理解することができました!