二人の人間がくじを引いてあたる確率はそれぞれ異なるはず

質問

A君とB君がいたとします。A、Bの順番にくじを引いてゆくとき、それぞれがあたる確率は異なるはずだと思うのですがどうでしょうか。
（例）10本のうち、３本が当たりで、一度引いたくじは元に戻さないとして、まずA君が当たる確率は、A君のみが当たる場合と、A君B君がともに当たる場合を足して、3/10+3/10=3/5.次に、Ｂ君が当たる確率は、A君が外れて、B君が当たる確率と、A君B君両方が当たる確率をたして、3/9+2/9=5/9。

どこか変でしょうか？

回答No.4

noname#148473 · ベストアンサー

逐語ツッコミ式で回答します。

＞（例）10本のうち、３本が当たりで、一度引いたくじは元に戻さないとして、まずA君が当たる確率は、A君のみが当たる場合と、A君B君がともに当たる場合を足して、

ＡはＢより先にくじを引くのですから、Ｂの当否は、Ａの当否には全く影響しません。ですから、Ａが当たりを引く確率は「３／１０」だけでＯＫです。

＞次に、Ｂ君が当たる確率は、A君が外れて、B君が当たる確率と、A君B君両方が当たる確率をたして、3/9+2/9=5/9。

ここで重要なのは「A君が外れ」るという事象と、「A君」が当たるという事象が、同じ確率で発生する訳ではないということです。感覚的に分かりやすいように、次のような例を示します。

例）５２枚のトランプから２枚のカードを順に引く。１枚目がスペードのＡだった場合、２枚目がスペードかクラブのカードなら当たりとする。１枚目がスペードのＡ以外だった場合には、２枚目がスペードのＡだった場合のみ当たりとする。当たりになる確率を求めよ。

この例では、１枚目がスペードのＡだった場合には、２枚目は

２６／５２＝１／２ ...(1)

の確率で当たりとなります。スペードのＡでなかった場合には、当たりの確率は

１／５２ ...(2)

です。では、求める確率は(1)+(2)で

１／２＋１／５２＝２７／５２

つまり、約５２％にもなると言えるでしょうか？
感覚的にもおかしいと思いますよね。

この例の場合、１枚目にスペードのＡを引く確率が１／５２しかないということを考えないといけません。ですから、求める確率は(1)*1/52+(2)*51/52となります。面倒なので以下の計算は省きますが、答えは約２．８％となります。

で、ご質問のケースですが、

Ａが当たる確率　３／１０
Ａが当たった場合に、Ｂが当たる確率　２／９
つまり、Ａ・Ｂが共に当たる確率は　３／１０×２／９ ...(1)

Ａが外れる確率　７／１０
Ａが外れてＢが当たる確率　３／９
つまり、Ａが外れてＢが当たる確率は　７／１０×３／９ ...(2)

以上から、Ｂが当たる確率は(1)+(2)により、

３／１０×２／９＋７／１０×３／９＝３／１０

となります。結局、先に引いても後で引いても、当たる確率は同じということです。

これが、「外れた場合のみ元に戻す」などの条件がつくと、先で引くか後で引くかで確率が変わってくるのですけどね。。。

ご参考になれば幸いです。

お礼

細かく指摘していただいてありがとうございました。後ほどゆっくり読ませていただきます。ありがとうございました。

回答No.3

hinebot

既に説明は出てますが、質問者さんの計算について、こういう風に考えることもできます。

Ａ君が当たる確率=3/5
Ｂ君が当たる確率=5/9

だとすると、これらを足すとどうなるでしょう？
3/5 + 5/9 = 27/45 + 25/45 = 52/45 > 1

本来はこれに「Ａ君もＢ君も当たらない確率」を足して１にならなければいけないはずですが、この時点で既に１を超えてますよね？
このことからも、この計算がおかしいことが分かります。

どこがおかしいのか？
これは#2さんの説明の通りですが、もう少し詳しくいうと

A君のみが当たる場合 3/10
A君B君がともに当たる場合 3/10

としているのが間違っているのです。
「１０本のうち３本が当たり」なので、3/10 というのは単純にＡ君が当たる確率です。
Ａ君"のみ"が当たる場合　としているのですから、このときＢ君ははずれている訳で
Ｂ君がはずれる確率　7/9 （残り９本中２本が当たりなので）を考慮しないといけません。
よって、Ａ君のみが当たる確率は、(3/10)*(7/9) となる訳です。
Ａ君Ｂ君がともに当たる場合も同様です。

お礼

なるほど。そういう見方もできましたね。いろいろご指摘ありがとうございました。ためになりました。

回答No.2

hayahayahaya

#1の方の説明のとおりですが、貴君の考え方に沿って説明すると、

> 君が当たる確率は、A君のみが当たる場合と、A君B君がともに当たる場合を足して、

(3/10*7/9) + (3/10*2/9) = 3/10

（A君があたって、B君が外れる確率）+　（A君があたって、B君があたる確率）

> Ｂ君が当たる確率は、A君が外れて、B君が当たる確率と、A君B君両方が当たる確率をたして

(7/10*3/9) + (3/10 * 2/9) = 3/10

（A君がはずれて、B君があたる確率）+　（A君があたって、B君があたる確率）

どっちも同じになりますね。

お礼

ありがとうございます。丁寧に解答してくださってありがとうございます。

回答No.1

matherlake

はっきり申し上げると、確率のことについている本を読まれたほうがいいです。
あなたの計算だと、Ａ君があたる確率は3/5＝６０％ということになりますが、１０本のうち３本しかあたりくじはないので変ですよね。
Ａ君の当たる確率は１０本のうち３本あたるわけですから、３／１０です。
Ｂ君のほうはＡ君が先に引くのでＡ君が当たったときとそうでないときの２つを足します
Ａ君が当たった（3/10）あとＢ君が当たる確率（９本のうち２本のあたりくじ）
（３／１０）＊（２／９）＝２／３０
Ａ君がはずれた（７／１０）あと、Ｂ君が当たる確率（９本のうち３本）
（７／１０）＊（３／９）＝７／３０
2/30+7/30＝３／１０
めでたく最初に引いても後にひいても当たる確率は同じになりました。

お礼

早速のご解答ありがとうございました。参考になりました。