ラグランジュ未定乗数法の問を教えてください。

質問

ｆ（ｘ、ｙ）＝ｘ＾３＋ｙ＾３
条件ｘ＾２＋ｙ＾２＝１
として、最大値最小値を求めよ。
　Ｆ（ｘ,y,λ）＝ｘ＾３＋ｙ＾３＋λ（ｘ＾２＋ｙ＾２‐１）とする
　Ｆｘ＝３ｘ＾２＋２ｘλ
　Ｆｙ＝３ｙ＾２＋２ｙλ
　Ｆλ＝ｘ＾２＋ｙ＾２‐１　（※Ｆλはλ微分のこと）
として、λをこれ以降どのように変形し、求めればよいか分りません。
よろしくお願いします。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

No2,No3です。

御免！
ANo3に図を添付するのを忘れました。
改めて添付します。

回答No.3

info22_

No2です。

ANo2で求めた6個の極値候補点
(1,0),(-1,0),(0,-1),(0,1),(1/√2,1/√2),(-1/√2,-1/√2)でx^2+y^2=1の制限条件の下、
f(x,y)=x^3+y^3がどのように変化し、どの様は極値をとるかを3次元のグラフにしてみました。

各候補点ではf(x,y)は極大値または極小値をとります。
すなわち
図のA,D,Fで極大値をとり、B,C,Eで極小値をとります。

点A,Dの極大値は最大値f(1,0)=f(0,1)=1となり、
点B,Cの極小値は最小値f(-1,0)=f(0,-1)=-1となります。
図で確認ください。
また点Eの極大値はf(1/√2,1/√2)=1/√2、
点Fの極小値はf(-1/√2,-1/√2)=-1/√2
となります。

図を見ながら、ANo2の回答を追っていけば、多少なりとも解答で何をしているか理解するのに役立つかと思います。

回答No.2

info22_

Fx=0,Fy=0,Fλ=0
をλ,x,yの連立方程式として解き極値候補点を求める。
制約条件x^2+y^2=1から|x|≦1,|y|≦1なので、x^3+y^3は上限と下限が存在する。つまり最大値と最小値が存在する。極大値の内、最大のものが最大値であり、極小値の内、最小のものが最小値である。
(λ,x,y)=(-3/2,1,0),(-3/2,0,1),(3/2,-1,0),(3/2,0,-1),
(-3√2/4,1/√2,1/√2),(3√2/4,-1/√2,-1/√2)
λ=-3/2のとき　f(1,0)=f(0,1)=1
λ=3/2のとき　f(-1,0)=f(0,-1)=-1
λ=-3√2/4のとき,f(1/√2,1/√2)=1/√2
λ=3√2/4のとき,f(-1/√2,-1/√2)=-1/√2
従って、
最大の極大値,すなわち最大値はf(1,0)=f(0,1)=1
最小の極小値,すなわち最小値はf(-1,0)=f(0,-1)=-1

回答No.1

alice_44

未定乗数法が何故成り立つかは、教科書を読んでもらうとして、
計算の手順としては、Fx=Fy=Fλ=0 を解くと、極値点の候補が得られる
…それだけです。
この問題の場合、Fx+Fy-3Fλ=0 から λ が x,y の式で表せて、
Fx=Fy=0 から λ を消去すると、x,y が求められますね。
尤も、この問題の場合は、未定乗数法を使うよりも、
x=cosθ, y=sinθ で制約条件をパラメータ表示したほうが、
簡単そうですが。