ラグランジュの・・・

質問

お世話になります。
変数ｘ、ｙ、ｚは条件φ（ｘ、ｙ、ｚ）＝０を満たして変化する時、３変数関数U=f(x,y,z)について次のことを証明せよ。
Uｘ＝ｆｘ－ｆｚ・φｘ/φｚ、Uｙ＝ｆｙ－ｆｚ・φｙ/φｚ
三変数関数になったらわかりません。よろしくお願いしますｍ（－－）ｍ

回答No.1

reiman · ベストアンサー

陰関数定理が成立するとする
φ(x,y,z)=0よりz=v(x,y)が存在する
すなわち
φ(x,y,v(x,y))=0
x,yそれぞれで偏微分すると
φx(x,y,v(x,y))+φz(x,y,v(x,y))・vx(x,y)=0・・・（１）
φy(x,y,v(x,y))+φz(x,y,v(x,y))・vy(x,y)=0・・・（２）
またφ(x,y,z)=0沿っている場合は
U=f(x,y,v(x,y))
x,yそれぞれで偏微分すると
Ux=fx(x,y,v(x,y))+fz(x,y,v(x,y))・vx(x,y)・・・（３）
Uy=fy(x,y,v(x,y))+fz(x,y,v(x,y))・vy(x,y)・・・（４）
（１）、（３）より
Ux=fx-fz・φx/φz
（２）、（４）より
Uy=fy-fz・φy/φz

お礼

コメントが大変遅くなり、すみません。
丁寧な回答ありがとうございます。
感謝してます。