確率の問題の意味

質問

２つの壺Ａ・Ｂがあって、Ａには赤玉５個白玉３個黒玉２個入っていて、Ｂには赤玉２個白玉３個黒玉５個入ってるとします。まずＡから1個玉を取り出しＢに入れます。次にＢから一個玉を取り出したら黒玉でした。はじめにＡから取り出した玉が黒玉であったである確率は？という問題ですが、はじめにＡから取り出した時だけ考えればよいので答えは５分の１でよいのかと思いましたが、答えは１３分の３でした。この問題の意味はどう解釈すればよいのでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.2

zephyrus · ベストアンサー

Ａから取り出す玉が何色か、ということがひとつ。
それをＢに入れるのだからＢには10個ではなく、11個の玉が入っているということがひとつ。

全部の「場合」を考えてみましょう。いま黒玉だけが問題なのだから、
（１）Ａから他の色を取り出しＢに入れ、Ｂから他の色が出た場合
（２）Ａから他の色を取り出しＢに入れ、Ｂから　黒玉が出た場合
（３）Ａから　黒玉を取り出しＢに入れ、Ｂから　黒玉が出た場合
（４）Ａから　黒玉を取り出しＢに入れ、Ｂから他の色が出た場合
の４通りですから、それぞれを計算してみます。

（１）8/10*6/11＝48/110　　・・・・Ｂの黒玉の数5、その他6
（２）8/10*5/11＝40/110　　・・・・Ｂの黒玉の数5、その他6
（３）2/10*6/11＝12/110　　・・・・Ｂの黒玉の数6、その他6
（４）2/10*5/11＝10/110　　・・・・Ｂの黒玉の数6、その他6

ところで、Ｂからはすでに黒玉が出ているのだから（２）と（３）の場合だけ考えればよく、（２）と（３）の合計が黒玉が出るすべての「場合」。（３）はその部分集合で、その割合はいくらかということになります。すなわち、
（３）/（（２）+（３））＝12/（40+12）＝3/13

説明がへたで、ごめんなさい。

お礼

私も全事象を考えたのですが分かりませんでした(--;)こうしてみると簡単ですね。ありがとうございました。

回答No.4

dandy_club

確率より、回答表現が難しそう(^^;

Aの壷から黒玉が出るのは１／５で大正解です！が

Aから何色かわからない１個を貰って１１個になったBから黒玉が出る確率となると、答えが変わってきます。

最初に言葉で話すと

１１個になったBから黒玉が出る確率だけ考えると、
　　1・・・　Aから黒を貰ったときに黒が出た確率
　　　　　　　＋　
　　2・・・　Aから黒以外を貰ったときに黒が出た確率
　　　の合計ですよね

　　1・・・の時の　6（Bの中の黒）/11（B全部）×1/5（Aから黒を貰った確率）＝6/55と
　　2・・・の時の　5（Bの中の黒）/11（B全部）×4/5（Aから黒以外を貰った確率）＝20/55の合計で
　　3・・・　　6/55+20/55＝26/55です。

ここで終わればいいのに・・・やっかいなのは

今回は、なんと
１１個になったBから黒玉が出る”全部の確率”
　　3・・・　　26/55の”なか”でも
さらに、”最初にAから貰ったのが黒だった確率だけ”を探す作業なので

貴方の最初の計算を思い出してみると
”最初”のAの壷　黒２個から”Aの壷全部”１０個のを割り算してAから黒が出る確率は
２÷１０が1/5と解かったように

今度は、やっかいな後半の問題に置き換えて考えると

”最初に黒を貰った確率”　6/55　を”１１個になったBから黒が出た全部の確率”　26/55　で同じように割り算する必要がありそうですね(^^)

やってみましょう
6/55÷26/55ふむふむ分母は同じだから分子だけ割り算っと・・・
６÷２６かぁ
ってことは　　6/26
なぁんだ　　　6/26＝3/13じゃないか！

でした。
ふぅおめでとうございます(^^)v

お礼

誰にでも分かりやすい説明ありがとうございました。

回答No.3

rmz100

最初にAから黒を選ぶ確立は2/10。
次にその1つをBに加えた状態（この時点でBの中は11個、その内訳は赤=2、白=3、黒=6になっています）からさらに黒を選ぶ確立は6/11。
この両方を満たす必要があるので両者をかけると、2/10×6/11=12/110。
これが「Bから黒が出たうち、Aから黒を取ってきていた確率」です。
次に、Aから取ったのが「赤」でBから黒が出る確立は5/10×5/11=25/110。
同じように「白」で黒が出るのは3/10×5/11=15/110。
最後に「黒」で黒が出る確立は最初に書いたとおり、2/10×6/11=12/110。
ということで、「全体としてBから黒が出てくる確率」は(25+15+12)/110=52/110となります。

ということで、12/110÷52/100=12/110×110/52
=12/52
=3/13となります。

お礼

見通しのよい回答ありがとうございました

回答No.1

thetas

これは条件付確率の問題です。

この問題において行われいることは、
１）Ａから１つ玉を取り出します。
　　取り出した玉を便宜上、「謎」と書きます。
２）その「謎」をＢに入れる。
３）Ｂにもともとあった赤玉２個白玉３個黒玉５個と
　　先ほど入れた「謎」の計１１個から１つ取り出す
結果として
　Ｂから黒玉がでました
問題
　Ａから取り出した「謎」が黒玉であった確率は？

補足
　Ｂから取り出して、黒玉になるのは、
　　イ）Ｂに元々あった黒玉
　　ロ）Ａからやってきた「謎」が黒玉であり、
　　　なおかつ、それがＢからも取り出された
　の２種類の可能性があります。

　この部分と、条件付確率の内容とを照らし合わせてはいかがでしょうか。

お礼

なるほど、条件付確率ですか。基礎ができてないみたいなので復習します。ありがとうございました。