フーリエ変換

質問

画像中の2段目の式(B(t)のフーリエ変換)はどのようになるでしょうか.
1段目の式はB(t)の定義を表し, 3段目の式は2段目の式がこうなってほしいなぁという私の願望です.
なお, tは時刻, オメガは角周波数, iは虚数, デルタは定数とします. また, Rは虚数の実部を指す記号とします. A(オメガ)は実数関数で偶関数とします.

以前も同様の質問をしたのですが, そのときの回答者様の回答を参考に自分なりに計算した結果,
2段目の式は, A(オメガ)cos(デルタ), となりました.
しかし, この2段目の式はある物理現象を表したものなのですが, その物理現象の実験結果から考えると, B(t)のフーリエ変換は画像の3段目の式になってほしいのです.

やはり2段目の式はA(ω)cos(デルタ)なのでしょうか.
何かの仮定やうまい計算方法を利用すれば, 3段目の式が答えになるのでしょうか.

お力を貸して頂ければ嬉しいです.
宜しくお願いします.

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

フーリエ変換とその逆変換で2πをどう振り分けるかで混乱が生じることがあります．以下では定義に依存しない計算法（解法１），きちんと定義して2πをきちんと扱う方法（解法２）を示します．どちらが分かりやすいかは質問者様にゆだねます．

解法１．

まず実部をとる前の積分

I=∫_{-∞}^∞dωA(ω)e^{i(ωt+δ)}

を計算しましょう．

I=e^{iδ}∫_{-∞}^∞dωA(ω)e^{iωt}

ここで

∫_{-∞}^∞dωA(ω)e^{iωt}

=∫_{-∞}^∞dωA(ω)(cosωt+isinωt)

=∫_{-∞}^∞dωA(ω)cosωt+i∫_{-∞}^∞dωA(ω)sinωt

ここでA(ω)sinωtは偶関数，A(ω)sinωtは奇関数であるため

2∫_0^∞dωA(ω)cosωt

となります．よって

I=2e^{iδ}∫_0^∞dωA(ω)cosωt

=2cosδ∫_0^∞dωA(ω)cosωt+2isinδ∫_0^∞dωA(ω)cosωt

この実部がB(t)であるから，

B(t)=2cosδ∫_0^∞dωA(ω)cosωt

さらにこれを次のように書きなおします．

B(t)=cosδ∫_0^∞dωA(ω)(e^{iωt}+e^{-iωt})

=cosδ{∫_0^∞dωA(ω)e^{iωt}+∫_0^∞dωA(ω)e^{-iωt}}

=cosδ{∫_0^∞dωA(ω)e^{iωt}+∫_0^{-∞}(-dω)A(-ω)e^{iωt}}←後ろの積分でω→-ω

=cosδ{∫_0^∞dωA(ω)e^{iωt}+∫_{-∞}^0dωA(-ω)e^{iωt}}

=cosδ{∫_0^∞dωA(ω)e^{iωt}+∫_{-∞}^0dωA(ω)e^{iωt}}←A(ω)が偶関数

=cosδ∫_{-∞}^∞dωA(ω)e^{iωt}

したがって，

∫_{-∞}^∞dtB(t)e^{-iωt}=∫_{-∞}^∞dtcosδ∫_{-∞}^∞dω'A(ω')e^{iω't}e^{-iωt}

=cosδ∫_{-∞}^∞dω'A(ω')∫_{-∞}^∞dte^{i(ω'-ω)t}

ここでδ関数のフーリエ積分表示

δ(ω'-ω)={1/(2π)}∫_{-∞}^∞dte^{i(ω'-ω)t}

を使うと，

∫_{-∞}^∞dtB(t)e^{-iωt}=cosδ∫_{-∞}^∞dω'A(ω')2πδ(ω'-ω)

=cosδA(ω)2π=2πcosδA(ω)

となります．

解法２．

f(t)のフーリエ変換を

Ff(t)=∫_{-∞}^∞dte^{-iωt}f(t)

で定義し，そのフーリエ逆変換f(t)を

F^{-1}Fｆ(t)={1/(2π)}∫{-∞}^∞dωe^{iωt}Ff(t)(=f(t))

とかきます．

B(t)はe^{iδ}2πF^{-1}A(ω)の実部だから

B(t)=π(e^{iδ}F^{-1}A(ω)+e^{-iδ}{F^{-1}A(ω)}^*)

ここでA(ω)が実の偶関数であることから

{F^{-1}A(ω)}^*={{1/(2π)}∫_{-∞}^{∞}dωe^{iωt}A(ω)}^*

={1/(2π)}∫_{-∞}^∞dωe^{-iωt}A(ω)^*

={1/(2π)}∫_{-∞}^∞dωe^{-iωt}A(ω)←A(ω)：実関数

={1/(2π)}∫_∞^{-∞}(-dω')e^{iω't}A(-ω')

={1/(2π)}∫_{-∞}^∞dω'e^{iω't}A(ω')←A(ω)：偶関数

=F^{-1}A(ω)

∴B(t)=π(e^{iδ}+e^{-iδ})F^{-1}A(ω)=2πcosδF^{-1}A(ω)

よって

∫_{-∞}^∞dte^{-iωt}B(t)

=FB(t)=F(2πcosδF^{-1}A(ω))=2πcosδFF^{-1}A(ω)

=2πcosδA(ω)

お礼

非常にご丁寧に回答を作成して頂き、ありがとうございました！
大変わかりやすかったです！

やはり私が期待した答えとはやはり違うようですね、、、、

ご回答ありがとうございました！！

回答No.1

ramayana

計算してみたら、2πA(ω)cos(δ) になりました。

直感的にも、２段目の式が３段目の式になると思えないです。A(ω) が偶関数なので、１段目の式から、B(t)が実数値偶関数であることが分かります。一般に実数値偶関数のフーリエ変換は、また実数値偶関数になります。したがって、２段目の式は、実数です。一方、３段目の式は、δがπの整数倍である等の事情がない限り、実数になりません。

お礼

ご回答ありがとうございました.

なるほどやはり3段目の式にはなりませんか.

また回答者様のおっしゃる理論にも納得できます.
私もそう思います(笑).

ありがとうございました.