数1 2次関数の解答お願いします H23.05

質問

下記が問題文です。【1】～【5】が問題箇所です。
出来れば問題の解答の解説も付けて頂けると嬉しいです。

x の2次関数
f(x)=x^2-(2a+8)x+2a+11 (a は実数)
がある。

(1) ｙ=f(x) のグラフは放物線で、頂点の座標は(a+4、【1】)である。

(2) ｙ=f(x) のグラフは、 a の値と関係なく、つねに点【2】を通る。

(3)すべての実数 x に対して、f(x)＞0となる a の範囲は、【3】であり、
y=f(x)のグラフが x 軸と接するとき、xの正の方の値は、【4】である。

(4) y=f(x)のグラフが x 軸から切り取る部分の長さが 4√3であるとき、 a の正の方の値は
a = 【5】
である。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

f(x)
= {x - (a + 4)}^2 - a^2 - 8a - 16 + 2a + 11
= {x - (a + 4)}^2 - a^2 - 6a - 5
と平方完成できるから、頂点の座標は(a + 4, -a^2 - 6a - 5)
【1】 = -a^2 - 6a + 3

y = f(x) = x^2 - (2a + 8)x + 2a + 11
を、aについての式と考える。
2xa - 2a - x^2 + 8x + y - 11 = 0
2(x - 1)a - x^2 + 8x + y - 11 = 0
これがすべてのaについて成り立つためには、
x - 1 = 0 …… (1)
-x^2 + 8x + y - 11 = 0 …… (2)
上記(1)(2)の両方が成り立つことが必要である。
(1)よりx = 1を(2)に代入する。
y = 1 - 8 + 11 = 4
よって、y=f(x)のグラフは、aの値に関係なく、常に(1, 4)を通る。
【2】 = 1, 4

すべての実数xについてf(x) > 0が成り立つということは、
f(x) = 0という2次方程式が実数解を持たないことと同値であるので、
判別式 < 0であるということである。
f(x) = x^2 - (2a + 8)x + 2a + 11 = x^2 - 2(a + 4)x + 2a + 11
の判別式D/4 = (a + 4)^2 - 2a - 11 = a^2 + 6a + 5 < 0
(a + 5)(a + 1) < 0
-5 < a < 1
【3】 = -5 < a < 1

y = f(x)のグラフがx軸と接するということは、
f(x) = 0という2次方程式が重解を持つことと同値であるので、
判別式 = 0であるということである。
(a + 5)(a + 1) = 0
a = -5, -1
a = -5のとき、f(x) = x^2 + 2x + 1 = 0
(x + 1)^2 = 0
x = -1
a = -1のとき、f(x) = x^2 - 6x + 9 = 0
(x - 3)^2 = 0
x = 3
x > 0であるから、【4】 = 3

y = f(x)のグラフがx軸から切り取る部分の長さが4√3であることと、
f(x) = 0という2次方程式の2つの実数解の差が4√3であることとは同値である。
2つの実数解をα、β（ただしα > βとする）とし、α - β = 4√3となるようなaの正の値を求める。
2次方程式の解と係数の関係より、
α + β = 2a + 8 …… (3)
αβ = 2a + 11 …… (4)
(α - β)^2
= α^2 - 2αβ + β^2
= α^2 + 2αβ + β^2 - 4αβ
= (α + β)^2 - 4αβ = (4√3)^2 = 48
(3)(4)を代入する。
(2a + 8)^2 - 4(2a + 11) = 48
4a^2 + 24a - 28 = 0
a^2 + 6a - 7 = 0
(a + 7)(a - 1) = 0
a > 0であるから、a = 1
【5】 = 1

お礼

解き直しまでしてくださり、ありがとうございます。

回答No.4

noname#181872

あなたにとって模範解答があっても内容を理解できないでしょ？
この問題を解くのに必要な基礎知識が足りないから。
宿題とか課題なら模範解答を丸写しすればクリアできるかもしれないけど、
それはその場しのぎであって、近い将来また別の問題をこんな感じで聞くことになるよ。
まだ人に聞ければいいけど、テストの時とかどうするの？

それならばこんなところで聞かずに、面と向かって話ができる人で
とことんまで面倒を見てくれる人を捕まえて、
この問題を解くのに必要な基礎など、理解できていないところを
とことんまで出し切って理解しなおした方がいいのでは？

回答No.3

asuncion

またまた失礼。

＞と平方完成できるから、頂点の座標は(a + 4, -a^2 - 6a - 5)
＞【1】 = -a^2 - 6a + 3

【1】 = -a^2 - 6a - 5
です。

回答No.2

asuncion

おっと失礼。

＞(a + 5)(a + 1) < 0
＞-5 < a < 1
＞【3】 = -5 < a < 1

-5 < a < -1
【3】 = -5 < a < -1
です。