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微分方程式の級数解と部分分数分解
- 微分方程式の級数解を求める際、部分分数分解を使う必要があります。
- 級数解を求めるためには、Σ[i=0,∞] 1/{ (2i) ! } * x^(2i) + Σ[i=0,∞] 1/{ (2i+1)! } * x^(2i+1) の形を部分分数分解する必要があります。
- 部分分数分解を行うと、Σ[i=0,∞] 1/( i ! ) * x^i の形になり、級数解を求めることができます。
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次の微分方程式の解を 式(5.1) = y(x) = Σ[i=0,∞] ( a[i] * x^i ) のべき級数を用いて求めよ。 x^2 * (dy/dx) - y = x^2 解答 べき級数展開から次の式を得る。 x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1)( a[i+1] * x^i ) - Σ[i=0,∞] ( a[i] * x^i ) = x^2 xの次数ごとに両辺の係数を比較すると、 a[0] = 0 a[1] = 0 a[2] = -1 a[n] = (n-1) a[n-1] (n>=3) なる関係式を得る。これより、n>=3について a[n] = (n-1) ! * a[2] = -(n-1) ! となる。したがって、微分方程式の級数解として y = -x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1) ! * x^i ←この式の求め方が分かりません を得る。 ・・・と本に書いてありますが、 y = -x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1) ! * x^i の求め方が分かりません。 a[n] = -(n-1) !まで分かっているので、後は代入するだけだと思っていたのですが、やってみると答えが合いません。例えば、 x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1)( a[i+1] * x^i ) - Σ[i=0,∞] ( a[i] * x^i ) = x^2 に a[n] = -(n-1) ! a[i] = -(i-1) ! a[i-1] = -(i-2) ! a[i+1] = -i ! など各種取り揃えておいて代入すると x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1)( a[i+1] * x^i ) - Σ[i=0,∞] ( a[i] * x^i ) = x^2 x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1)( -i ! * x^i ) - Σ[i=0,∞] { -(i-1) ! * x^i } = x^2 (i+1)i ! = (i+1) ! と考えれば x^2 * Σ[i=0,∞] -(i+1) ! * x^i + Σ[i=0,∞] (i-1) ! * x^i = x^2 -x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1) ! * x^i + Σ[i=0,∞] (i-1) ! * x^i = x^2 この前半の項が奇しくもこの本の答え y = -x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1) ! * x^i と同じになります。 ということは、この後半の項はゼロになるべきということですか?でも、ならないですよね? それとも私の計算が間違っているのでしょうか? どうか正しい解き方を教えてください。お願いします。
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次の微分方程式の解を 式(5.1) = y(x) = Σ[i=0,∞] ( a_[i] * x^i ) のべき級数を用いて求めよ。 x (dy/dx) - y = x^k (ただし、kは1以外の自然数) 解答 y を式(5.1)のべき級数で展開し、微分方程式に代入して係数a_iについての関係式を求める。 (1) べき級数展開から次の式を得る。 x Σ[i=0,∞] (i+1)( a_[i+1] * x^i ) - Σ[i=0,∞] ( a_[i] * x^i ) = x^k xの次数ごとに両辺の係数を比較すると、n≠kなるnについて (n-1)a_[n] = 0 となる。 ←疑問点 n≠1 (n≠k) に対して a_[n] = 0 であり、(k-1) * a_[k] = 1より y = 1/(k-1) * x^k を得る。 n=1に対しては、a_[n] = a_[1] ≠ 0でも(n-1) * a_[n] = 0となる。 実際、y = 1/(k-1) * x^k + ax (aは任意の定数) が微分方程式の解となる。 ・・・と本に書いてありますが、「疑問点」のところの比較の方法が分かりません。 まず、i が 0 から n まで変化する過程を自分で計算してみました。 i=0: x * (0+1) a_[0+1] * x^0 - a_[0] * x^0 = a_[1] * x - a_[0] i=1: x * (1+1) a_[1+1] * x^1 - a_[1] * x^1 = 2a_[2] * x^2 - a_[1] * x i=2: x * (2+1) a_[2+1] * x^2 - a_[2] * x^2 = 3a_[3] * x^3 - a_[2] * x^2 : i=n: x * (n+1) a_[n+1] * x^n - a_[n] * x^n = (n+1) a_[n+1] * x^(n+1) - a_[n] * x^n これらを使って「xの次数ごとに両辺の係数を比較する」んですよね。 しかし左辺だけでも、xの次数が1つずつズレていますよね・・・? これらと x^k を具体的にどうやって比較するのでしょうか? x^2ならx^2だけでまとめるんですか? それともx^3とx^2が混ざった形で比較するのですか(どうやってやるのか分かりませんけども)? どうか教えてください。お願いします。
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ああ、そういう形でしたか。 頭の中で歯車同士が噛み合ってる絵が浮かびました。 偶数と奇数の項と考えればよかったんですが、 y = Σ[i=0,∞] 1/{ (2i) ! } * x^(2i) + Σ[i=1,∞] 1/{ (2i) ! } * x^(2i) ・・・とやると同じ形のが一個ずれて噛み合ってるというイメージがもっと湧いてきました。 ありがとうございました。