数学の問題を教えてください。

質問

文系です。
数学が得意な方、お願いいたします。

ある月でAの支持率が40%であった。
(1)任意で5人選んだとき，Aを支持する人が3人以上である確立は？
(2)任意に200人選んだとき，Aを支持する人が70人以上85人以下である確立は？
(3)しばらくして，1000人を無作為抽出で調査をしたところ，333人がAを支持していたという。
　Aの支持率は30%と言えるか。有意水準3%で両側検定せよ。

お願いいたします。

回答No.1

MagicianKuma · ベストアンサー

母集団から無作為に1名選んで支持者だったらX=1,そうでなかったらX=0とします。
Xは確率変数となりますが、母集団が有限なら、順にn人無作為に抽出したとしても、X1,X2,・・・,Xnは独立ではありません。例えば、母集団100人で支持者40人として、P(X1=1)=40/100ですが、X1=0,1に応じて、P(X2=1)=40/99,39/99と変化しますものね。
なので、母集団のサイズNは十分大きいとします。曖昧な表現ですが、標本サイズｎに対して、N≒N-nとみてもよい程度大きいとします。こうすると、X1,X2,・・・,Xn　は独立した確率変数と見なすことができます。
P(Xi=1)=0.4,P(Xi=0)=0.6 (i=1,2,3,・・・)となります。
また、Y=X1+X2+・・・+Xn　と置くとYは標本中の支持者の人数を表します。これはよく知られた二項分布です。Pn(Y=k)=nCk p^k (1-p)^(n-k)　（p=0.4)
(1)n=5としてPn(Y≧3)=P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)=5C3*0.4^3*0.6^2 + 5C4*0.4^4*0.6 + 5C5*0.4^5 ≒0.317
(2)n=200として(1)と同じような計算をしてもよいけれどとても大変。なので、nも十分大きいとき(n>30くらい)、上記二項分布は、平均np、分散np(1-p)の正規分腕近似できます。
なので、Z=(Y-np)/√(np(1-p))　と変換すればZは標準正規分布N(1,0)に従います。P(70≦Y≦85)=P(-1.44≦Z≦0.722) これを標準正規分布表から求めます。
(3)
帰無仮説H0:p=0.3、対立仮説H1:p≠0.3
有意水準3%の両側検定
(2)と同様にして、Zを計算します。Z=(333-1000*0.3)/√(1000*0.3*0.7)≒2.28　　標準正規分布表で調べるとP(Z>Z0)=0.015となるZ0は2.17なので、
この標本が起こる確率は棄却域に入る。よってp=0.3は言えない。