07数Ｂ空間ベクトルの問題

質問

点Oを原点とする座標空間に4点
A(2,1,0),B(3,2,1),C(0,3,0),D(-1,0,4)がある。
線分AB上の点Pを0≦s≦1であるsを用いて↑OP=↑OA+s↑AB
と表す。同様に、線分CD上の点Qを、0≦t≦1であるtを用いて、
↑OQ=↑OC+t↑CD
と表す。このとき
↑OP=(2+s,1+s,s)
↑OQ=(-t,3-3t,4t)
である。
また、↑OR=↑PQで定まる点Rに対して
↑OR=(-2-s-t,2-s-3t,-s+4t)
と表される。
よって
↑OR=(-2,2,0)+s(-1,-1,-1)+t(-1,-3,4)
だから、
↑OL=( -2,2,0)
↑OM=(-1,-1,-1)
↑ON=(-1,-3,4)
とおくと、
↑OR=↑OL+s↑OM+t↑ON(0≦s≦1,0≦t≦1)
と表される。
ここで↑OM・↑ON=□
だから、P,Qが線分AB,CD上を動くとき、点Rが描く図形をFとすると
Fは※である。またFの面積は√□□である。
※→台形、平行四辺形、ひし形、長方形、正方形から最も適当なものを選べ。

点Rに対して、線分ORが動いて出来る立体の体積を求めよう。
↑ORが図形Fに垂直になったときには
s=□、t=□/□□、│↑OR│=□√□□/□□
である。
したがって、線分ORが動いて出来る立体の体積は□である。

□にあてはまる数値の解説をお願いします。

回答No.2

ferien

点Oを原点とする座標空間に4点
A(2,1,0),B(3,2,1),C(0,3,0),D(-1,0,4)がある。
線分AB上の点Pを0≦s≦1であるsを用いて↑OP=↑OA+s↑AB
と表す。同様に、線分CD上の点Qを、0≦t≦1であるtを用いて、
↑OQ=↑OC+t↑CD
と表す。このとき
↑OP=(2+s,1+s,s)
↑OQ=(-t,3-3t,4t)
である。
また、↑OR=↑PQで定まる点Rに対して
↑OR=(-2-s-t,2-s-3t,-s+4t)
と表される。
よって
↑OR=(-2,2,0)+s(-1,-1,-1)+t(-1,-3,4)
だから、
↑OL=( -2,2,0)
↑OM=(-1,-1,-1)
↑ON=(-1,-3,4)
とおくと、
↑OR=↑OL+s↑OM+t↑ON(0≦s≦1,0≦t≦1)
と表される。
＞ ここで↑OM・↑ON=□
↑OM・↑ON＝(-1)・(-1)＋(-1)・(3)＋(-1)・4＝1＋3－4＝0　……(1)　…答え

＞ だから、P,Qが線分AB,CD上を動くとき、点Rが描く図形をFとすると
＞ Fは※である。またFの面積は√□□である。
＞ ※→台形、平行四辺形、ひし形、長方形、正方形から最も適当なものを選べ。
↑PQ＝↑OQ－↑OP＝(↑OC+t↑CD)－(↑OA+s↑AB)
＝↑AC－s↑AB＋t↑CD
↑OR=↑OL+s↑OM+t↑ON　で、↑OR=↑PQ　だから、比較すると、
↑OL＝↑AC，↑OM＝-↑AB，↑ON＝↑CD

(1)から、-↑AB・↑CD＝↑OM・↑ON＝0より、
↑AB・↑CD＝0だから、AB⊥CD　で、
また、P,Qが線分AB,CD上を動き、↑OR=↑PQより、↑ORと↑PQは平行だから、
点Rが動く図形は、縦＝|↑CD|、横＝|↑AB|の長方形。　…※

|↑AB|＝|↑OM|＝√{3・(-1)^2}＝√3
|↑CD|＝|↑ON|＝√{(-1)^2＋(-3)^2＋4^2}＝√26
Fの面積＝√3×√26＝√78　…答え

＞点Rに対して、線分ORが動いて出来る立体の体積を求めよう。
＞ ↑ORが図形Fに垂直になったときには
＞ s=□、t=□/□□、│↑OR│=□√□□/□□
＞ である。
↑ORが図形Fに垂直になったとき、図形F上の辺、AB，CDと垂直だから、
↑OR・↑AB＝0，↑OR・↑CD＝0

↑AB＝-↑OM＝(1,1,1)，↑CD＝↑ON＝(-1,-3,4)，
↑OR=(-2-s-t,2-s-3t,-s+4t)　だから、
↑OR・↑AB＝(-2-s-t)・1＋(2-s-3t)・1＋(-s+4t)・1
＝-3s＝0より、ｓ＝0（0≦s≦1を満たす。）…答え
↑OR・↑CD＝(-2-s-t)・(-1)＋(2-s-3t)・(-3)＋(-s+4t)・4
＝-4＋26t＝0より、t＝2/13（0≦t≦1を満たす。）…答え
よって、↑OR=(-28/13,20/13,8/13)より、
|OR|＝4・√(6/13)＝4√78/13　…答え

＞ したがって、線分ORが動いて出来る立体の体積は□である。
立体は、底面が図形Fで、高さがORの四角錐だから、
体積＝(1/3)・√78・(4√78/13）＝8　…答え

最初、図で考えようとしてもよくわからなかったので、辺の長さなど計算していったら、
少し様子がわかってきました。
あまり難しく考えないで、問題にしたがって解いていけばいいと思います。

回答No.1

yyssaa

ここで↑OM・↑ON=□
＞↑OM・↑ON=↑(-1,-1,-1)・↑(-1,-3,4)
=(-1)*(-1)+(-1)*(-3)+(-1)*(4)=1+3-4=0・・・答
だから、P,Qが線分AB,CD上を動くとき、点Rが描く図形をFとすると
Fは※である。またFの面積は√□□である。
※→台形、平行四辺形、ひし形、長方形、正方形から最も適当なものを選べ。
＞↑OM・↑ON=0なので↑OM ⊥↑ONとなり、
|↑OM|=√{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2}=√3
|↑ON|=√{(-1)^2+(-3)^2+(4)^2}=√26なので、点Mは、点Lを
原点とし直交する単位ベクトル(1/√3)↑OM及び(1/√26)↑ON
を含む平面上にあり、この平面上で点Mが動く範囲はs=t=0の
とき(0,0)、s=1,t=0のとき(√3,0)、s=0,t=1のとき(0,√26)、
s=1,t=1のとき(√3,√26)となるので、Fは長方形・・・答
Fの面積は√3*√26=√78・・・答
点Rに対して、線分ORが動いて出来る立体の体積を求めよう。
↑ORが図形Fに垂直になったときには
s=□、t=□/□□、│↑OR│=□√□□/□□
である。
＞↑ORが図形Fに垂直の場合、↑OR・↑OM=0かつ↑OR・↑ON=0
である。
↑OR=(-2,2,0)+s(-1,-1,-1)+t(-1,-3,4)=(-2-s-t,2-s-3t,-s+4t)
↑OR・↑OM=↑(-2-s-t,2-s-3t,-s+4t)・↑(-1,-1,-1)
=2+s+t-2+s+3t+s-4t=3s=0からs=0・・・答
↑OR・↑ON=↑(-2-s-t,2-s-3t,-s+4t)・↑(-1,-3,4)
=-4+26t=0からt=2/13・・・答
s=0から↑OR=(-2-s-t,2-s-3t,-s+4t)=(-2-t,2-3t,4t)
よって|↑OR|^2=(-2-t)^2+(2-3t)^2+(4t)^2=26t^2-8t+8
t=2/13を代入して|↑OR|^2=96/13、
|↑OR|=√(96/13)=4√78/13・・・答
したがって、線分ORが動いて出来る立体の体積は□である。
＞求める体積=(1/3)*(√78)*(4√78/13)=8・・・答