空間ベクトルの問題について教えて下さい

質問

空間図形が苦手なので、
解くときのポイントなど教えていただけたら
うれしいです。

空間にO(0,0,0),A(1,2,0),B(2,-3,1)があり、
↑OA=↑a,↑OB=↑bとする。
|↑a+t↑b|を最小にするtの値をt1とし、
↑OP=↑a+t1↑b,|(1-s)↑a+s↑b|を最小にするsの値をs2とし、
↑OQ=(1-s2)↑a+s2↑bとおくとき、
次の問いに答えて下さい。

(1)t1=? , s2=?

(2)↑AP・↑AQ=? 　△APQの面積=?

(3)点Rを、↑ARが△OABの張る平面に垂直で、
四面体APQRの体積が1になるように定めるとき、

|↑AR|=?

Rの座標は(?/3,?/6,-?/6),または(?/3,?/6,?/6)

よろしくお願いします。

回答No.4

suko22 · ベストアンサー

＃1です。すみません！計算ミスです。なんか変な答えが出たなと思ってもう一度確認してみたら案の定でした。

最後の部分
＞|AR|^2=(x-1)^2+(y-2)^2+z^2=147・・・※3
＞※1、※2、※3の連立方程式を解くと，
＞(x,y,z)=((3-√7)/3,(12+7√2)/6,49√2/6)・・・答え
＞(x,y,z)=((3+√7)/3,(12-7√2)/6,-49√2/6)・・・答え

※3の右辺が147ではなく、147/2でした。（|AR|^2=(7√6/2)^2=147/2ですからね）

だから、※3は正しくは、(x-1)^2+(y-2)^2+z^2=147/2となります。

連立方程式の解き方の一例：※1からx=5-2y,※1※2からz=7y-14を上式に代入して計算するとy=5/6,19/6がでます。
あとは、x,yをそれぞれ出して終わりです。自分で計算してみてください。

ちょっと計算は大変ですけど、まぁこれくらいは入試ではさくさくできるようにしておきたいですね。

平面に垂直なベクトルをもっと簡単に求める方法もあります。
参考ＵＲＬ貼っておきます。
http://okwave.jp/qa/q77825.html
受験テクニックとして、また検算するときに利用できますかね。知っておいて損はないと思います。時間がないときには重宝しそうです。

これを使うと平面OABに垂直なベクトルは(2,1,-7)と簡単に求められます。
これとAR↑は平行だから、AR↑=k(2,1,-7)とかけます。
今|AR|^2=147/2だから、(2k)^2+k^2+(-7k)^2=147/2となり、k=±7/6でAR↑が求まります。
AR↑=OR↑-OA↑よりOR↑=AR↑+OA↑で点Rの座標が求まります。

ご参考までに。

ふぅ・・・もやもやが解決した！おやすみなさい。
なにかあれば補足入れてください。

お礼

解説有り難うございました。検算等も使っていきたいです。

回答No.3

ferien

＞空間にO(0,0,0),A(1,2,0),B(2,-3,1)があり、
＞↑OA=↑a,↑OB=↑bとする。
＞|↑a+t↑b|を最小にするtの値をt1とし、
＞↑OP=↑a+t1↑b,|(1-s)↑a+s↑b|を最小にするsの値をs2とし、
＞↑OQ=(1-s2)↑a+s2↑bとおくとき、
＞次の問いに答えて下さい。
ＯＡ＝ａ＝（１，２，０），ＯＢ＝ｂ＝（２，－３，１）とする。

＞(1)t1=? , s2=?
ａ＋ｔｂ＝（１，２，０）＋ｔ・（２，－３，１）
＝（１＋２ｔ，２－３ｔ，ｔ）
｜ａ＋ｔｂ｜^2＝（１＋２ｔ）^2＋（２－３ｔ）^2＋ｔ^2
＝１４ｔ^2－８ｔ＋５
＝１４（ｔ－2/7）^2＋27/7　より、最小値をとるのはｔ＝２／７のとき
（１－ｓ）ａ＋ｓｂ＝（（１－ｓ）＋２ｓ，２（１－ｓ）－３ｓ，ｓ）
＝（１＋ｓ，２－５ｓ，ｓ）
｜（１－ｓ）ａ＋ｓｂ｜^2＝（１＋ｓ）^2＋（２－５ｓ）^2＋ｓ^2
＝２７ｓ^2－１８ｓ＋５
＝２７（ｓ－1/3）^2＋２　より、最小値をとるのは、ｓ＝１／３のとき
よって、ｔ１＝２／７，ｓ２＝１／３

＞(2)↑AP・↑AQ=? 　△APQの面積=?
ＯＰ＝ａ＋(2/7)ｂ＝（１＋4/7，２-6/7，2/7）
ＯＱ＝（１－1/3）ａ＋(1/3)ｂ＝(2/3)ａ＋(1/3)ｂ
＝（2/3＋2/3，4/3-3/3，1/3）＝（4/3，1/3，1/3）
ＡＰ＝ＯＰ－ＯＡ＝（4/7，－6/7，2/7）
ＡＱ＝ＯＡ－ＯＱ＝（1/3，－5/3，1/3）
｜ＡＰ｜^2＝（4/7）^2＋（－6/7）^2＋（2/7）^2＝８／７より、
｜ＡＰ｜＝２√２／√７
｜ＡＱ｜^2＝（1/3）^2＋（－5/3）^2＋（1/3）^2＝３より、
｜ＡＱ｜＝√３
よって、
ＡＰ・ＡＱ＝4/7・1/3＋（-6/7）・（－5/3）＋2/7・1/3＝36/21＝１２／７
角ＰＡＱ＝Ａとおくと、
cosＡ＝ＡＰ・ＡＱ／｜ＡＰ｜・｜ＡＱ｜
＝（１２／７）／（２√２／√７）・√３
＝√６／√７
sin^2Ａ＝１－cos^2Ａ＝１－（６／７）＝１／７より、sinＡ＝１／√７
よって、
△ＡＰＱ＝(1/2)・（２√２／√７）・√３・（１／√７）＝√６／７

＞(3)点Rを、↑ARが△OABの張る平面に垂直で、
＞四面体APQRの体積が1になるように定めるとき、
＞|↑AR|=?
△ＯＡＢの張る平面をａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０とおくと、
Ｏ，Ａ，Ｂを通るから、座標を代入して、
ｄ＝０
ａ＋２ｂ＋ｄ＝０より、ａ＝－２ｂ
２ａ－３ｂ＋ｃ＋ｄ＝０より、ｃ＝－２ａ＋３ｂ＝７ｂだから、
ａ：ｂ：ｃ＝－２ｂ：ｂ：７ｂ＝－２：１：７だから
平面の法線ベクトルは、ｎ＝（－２，１，７）
ＡＲは、平面に垂直だから、ベクトルＡＲは法線ベクトルに平行
だから、ＡＲ＝ｋｎとおける。
Ｒ（ｘ，ｙ，ｚ）とおくと、ＡＲ＝（ｘ－１，ｙ－２，ｚ）
（ｘ－１，ｙ－２，ｚ）＝ｋ（－２，１，７）より、
ｘ－１＝－２ｋ，ｙ－２＝ｋ，ｚ＝７ｋだから、ＡＲ＝（－２ｋ，ｋ，７ｋ）
Ｒ（－２ｋ＋１，ｋ＋２，７ｋ）……（＊）
｜ＡＲ｜^2＝（－２ｋ）^2＋ｋ^2＋（７ｋ）^2＝５４ｋ^2
｜ＡＲ｜＝±３√６ｋ　
四面体APQRの体積＝(1/3)×△ＡＰＱ×｜ＡＲ￥
＝(1/3)×（√６／７）×（±３√６ｋ）＝１より、
±（６／７）ｋ＝１から、ｋ＝±７／６
ｋ＝７／６のとき、｜ＡＲ｜＝３√６×（７／６）＝７√６／２
ｋ＝－７／６のとき、｜ＡＲ｜＝－３√６×（－７／６）＝７√６／２
よって、｜ＡＲ｜＝７√６／２

＞Rの座標は(?/3,?/6,-?/6),または(?/3,?/6,?/6)
ｋ＝－７／６のとき、（＊）に代入して
Ｒ（－２×(-7/6)＋１，（-7/6）＋２，７×（-7/6））
＝（１０／３，５／６，－４９／６）
ｋ＝７／６のとき、同様にして、
Ｒ（－４／３，１９／６，４９／６）

計算を確認してみて下さい。

お礼

解説有り難うございました。

回答No.2

suko22

＃１です。

追記：
回答ではベクトル記号は省略してます。ノートに書く場合には自分で補ってください。

お礼

分かりました。有難うございました。

回答No.1

suko22

(1)a+tb=(1,2,0)+t(2,-3,1)=(1+2t,2-3t,t)
|a+tb|^2=(1+2t)^2+(2-3t)^2+t^2=1+4t+4t^2+4-12t+9t^2+t^2
=14t^2-8t+5=14(t^2-4/7t)+5=14(t-2/7)^2+27/7
よって、t=2/7のとき|a+tb|は最小値をとる。
このときのtをt1とおくから、t1=2/7・・・答え

(1-s)a+sb=(1-s)(1,2,0)+s(2,-3,1)=(1-s,2-2s,0)+(2s,-3s,s)=(1+s,2-5s,s)
|(1-s)a+sb|^2=(1+s)^2+(2-5s)^2+s^2=1+2s+s^2+4-20s+25s^2+s^2
=27s^2-18s+5=27(s^2-2/3s)+5=27(s-1/3)^2+2
よって、s=1/3のとき|(1-s)a+sb|は最小値をとる。
このときのsをs2とおくから、s2=1/3・・・答え

(2)
＞↑OA=↑a,↑OB=↑bとする。
位置ベクトルの考え方です。点Ｏを基点にすべてのベクトルを表すと、ほとんどの場合上手くいきます。
このとき有効なのがベクトルの引き算です。たとえばＡＰ↑＝ＯＰ↑－ＯＡ↑とか。これが図を機械的に出せればとってもベクトルは簡単になります。（最初は図を描いてなぜこうなるのか考えてみてください。ただ足し算の見方を少し変えただけです。）

AP=OP-OA=a+2/7b-a=2/7b
AQ=OQ-OA=2/3a+1/3b-a=-1/3a+1/3b

よって、AP・AQ=(2/7b)・(-1/3a+1/3b)=-2/21a・b+2/21|b|^2

ここでa・bと|b|^2を求める。
a・b=1*2+2*(-3)+0*1=-4 , |b|^2=4+9+1=14 これを上式に代入、
AP・AQ=-2/21*(-4)+2/21*14=12/7・・・答え

△APQ=1/2|AP||AQ|sin∠PAQ（公式）
使いやすい形に変形します。
AP・AQ=|AP||AQ|cos∠PAQ
cos∠PAQ=AP・AQ/|AP||AQ|
sin∠PAQ=√(1-cos^2∠PAQ)
=√{1-(AP・AQ)^2/|AP|^2|AQ|^2}
よって、△APQ=1/2|AP||AQ|√{1-(AP・AQ)^2/|AP|^2|AQ|^2}
=1/2√{|AP|^2|AQ|^2-(AP・AQ)^2}・・・これは公式として覚えておいてもいいです。
　　　　　　 =1/2√8/7*3-(12/7)^2=1/2*√24/49=√6/7・・・答え

補足：|AP|^2=AP・AP,|AQ|^2=AQ・AQで出せます。

(3)それぞれの点の位置関係を確認知るために簡単な図を描くとよいと思います。（座標はとる必要ないです。だいたいで十分）
　四面体APQRの体積が1
　点A,P,Qは平面OAB上の点。
　この平面に垂直にARをとるから、
　四面体APQRの体積は1/3*△APQ*|AR|となる。
(2)の結果より、1=1/3*√6/7*|AR|
∴|AR|=7√6/2・・・答え

R(x,y,z)とおく。
AR=OR-OA=(x-1,y-2,z)
AR⊥aより
AR・a=x-1+2(y-2)=0
x+2y=5・・・※1
AR⊥bより
AR・b=2(x-1)-3(y-2)+z=0
=2x-3y+z=-4・・・※2

|AR|^2=(x-1)^2+(y-2)^2+z^2=147・・・※3
※1、※2、※3の連立方程式を解くと，
(x,y,z)=((3-√7)/3,(12+7√2)/6,49√2/6)・・・答え
(x,y,z)=((3+√7)/3,(12-7√2)/6,-49√2/6)・・・答え

計算は自分で確認してください。

・内積の公式、使い方
・ベクトルの引き算
・位置ベクトルの考え方
・三角形の面積の公式
・四面体の体積の求め方
・ベクトルの垂直条件

このあたりを確認して置いてください。

お礼

解説有り難うございました。