ベクトル

質問

座標空間に4点A(0,0,-1)、B(3,2,1)、C(1,0,3)、D(5,1,3)があり点Pは線分AB上を動き点Qは線分CD上を動く
このとき
(1)線分PQの中点Mはどんな図形を描くか
(2)線分PQの存在する領域の体積を求めよ
ただし線分はいずれも両端を含むものとする

1はOM→=1/2(3p+4q+1,2p+q,2p+4)と分かったのですがこれはどんな図形を描くのでしょうか
2はわかりません
教えてください

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)線分PQの中点Mはどんな図形を描くか
>OM→=1/2(3p+4q+1,2p+q,2p+4)と分かったのですが
z成分だけ間違い。
[正解]OM→=(1/2)(3p+4q+1,2p+q,2p+2)

>これはどんな図形を描くのでしょうか
x=(3p+4q+1)/2 ...(A)
y=(2p+q)/2 ...(B)
z=p+1 ...(C)
(3)より
p=z-1 ...(D)
0≦p≦1より 1≦z≦2 ...(E)
(D)を(A),(B)に代入
2x=3z+4q-2 → q=(2x-3z+2)/4 ...(F)
2y=2z-2+q → q=2(y-z+1) ...(G)
0≦q≦1と(G)より　y+(1/2)≦z≦y+1 ...(H)

(F),(G)よりqを消去
8(y-z+1)=2x-3z+2 → 2x-8y+5z=6 ...(I)
(I)は平面の方程式である。
この平面から(E)と(H)で切り出されるのは
平行四辺形の辺および内部である。
平行四辺形EFGHの４つの頂点の座標は平面（I）と平行平面で挟まれた領域(E)および(H)から決定できる。

頂点E:z=1,y=1/2,x=5/2
頂点F:z=1,y=0,x=1/2
頂点G:z=2,y=1,x=2
頂点H:z=2,y=3/2,x=4
この４頂点を順に結んできる平面（I）上の平行四辺形の内部
および辺が点Mの描く図形である。

(2)
線分PQの存在する領域は
三角錐ABCDの内部とその表面なので
三角錐ABCDの体積を求めればよい。
三角錐のベクトルによる体積公式によれば
体積V=(AB↑×AC↑)・AD↑/6

AB↑=(3,2,2),AC↑=(1,0,4),AD↑=(5,1,4)
AB↑×AC↑=(2*4,2*1-4*3,-2*1)=(8,-10,-2)
体積V=(8,-10,-2)・(5,1,4)/6
=(8*5-10*1-2*4)/6
=11/3

お礼

ありがとうございました

回答No.5

noname#182106

具体的な式・計算は他の方にお任せするとして・・・
まずは図形をイメージしましょう。
直線ABと直線CDがねじれの位置にあるなら、適当でいいので四面体ABCDをかきます。
PをAに固定した状態でQをCからDまで動かすと、Mはどこを動くでしょうか？
次にPを少しBの方にずらし、今度はそこに固定したままQをCからDまで動かすと、Mはどこを動くでしょうか？
とやっていくと問題の意図がわかると思います。

お礼

ありがとうございました

回答No.4

info22_

No.2です。

ANo.2の(1)の補足です。

>頂点E(5/2,1/2,1),頂点F(1/2,0,1),頂点G(2,1,2),
>頂点H(4,3/2,2)
>この４頂点を順に結んできる平面：2x-8y+5z=6 ...(I)
>上の平行四辺形の内部および辺が
>点Mの描く図形である。
と書きましたが平行四辺形の各辺の長さを計算すると
4辺の長さEF=FG=GH=EH=(√17)/2,EF=で対角線EG=(√6)/2,FH=
(√62)/2となるから、
正確には,一辺EF,FG,,GH,EHの長さが同じ「(√17)/2」で２つの直交する対角線の長さが「EG=(√6)/2とFH=(√62)/2」の菱形EFGHということになります。

お礼

ありがとうございました

回答No.3

yyssaa

(1)線分PQの中点Mはどんな図形を描くか
＞ベクトルAを↑Aと書いて
0≦t≦1として↑P=↑A+t↑AB=↑A+t(↑B-↑A)=(1-t)↑A+t↑B
=(1-t)(0,0,-1)+t(3,2,1)=(3t,2t,2t-1)
0≦s≦1として↑Q=↑C+s↑CD=↑C+s(↑D-↑C)=(1-s)↑C+s↑D
=(1-s)(1,0,3)+s(5,1,3)=(1+4s,s,3)
↑M=↑P+(1/2)↑PQ=↑P+(1/2)(↑Q-↑P)=(↑P+↑Q)/2
=(1/2){(3t,2t,2t-1)+(1+4s,s,3)}=(1/2)(3t+1+4s,2t+s,2t+2)
x=(1/2)(3t+1+4s)、y=(1/2)(2t+s)、z=(1/2)(2t+2)=t+1とおくと
t=z-1、y=(1/2){2(z-1)+s}からs=2y-2(z-1)=2y-2z+2、
xの式に代入してx=(1/2){3(z-1)+1+4(2y-2z+2)}から2x-8y+5z-6=0。
よって線分PQの中点Mは平面2x-8y+5z-6=0上にあり、その範囲は、
点Pが点Aにあるときは線分ACの中点と線分ADの中点を結ぶ線分(M1
とする)上であり、M1は線分CDに平行で長さがその半分である。
又、点PがBにあるときに点Mが動く範囲は、線分BCの中点と線分BD
の中点を結ぶ線分(M2とする)上となり、M2もM1と同様に線分CDに
平行で長さがその半分である。点Pが点AからBに向かって動くとき
に点Mの動く範囲はM1からM2まで平行移動することになる。
よって、線分PQの中点Mの描く図形は平行四辺形・・・答
(2)線分PQの存在する領域の体積を求めよ
ただし線分はいずれも両端を含むものとする
＞点Pが点Aにあるときに線分PQが存在する領域の全体は△ACDであり、
点Pが点Bにあるときに線分PQが存在する領域の全体は△BCDとなる。
よって、点Pが線分AB上を動くときに線分PQが存在する領域は、
△ACDと△BCDとを線分ABで結んだ立体、すなわち四面体(三角錐)
ABCDとなる。よって、その体積はスカラー積を↑・↑、ベクトル積を
↑×↑で表して、(1/3)↑AD・{(1/2)↑AB×↑AC}
=(1/6)↑AD・(↑AB×↑AC)
↑AB=↑B-↑A=B(3,2,1)-A(0,0,-1)=(3,2,2)
↑AC=↑C-↑A=C(1,0,3)-A(0,0,-1)=(1,0,4)
↑AD=↑D-↑A=D(5,1,3)-A(0,0,-1)=(5,1,4)
↑AB×↑AC=(2*4-2*0,2*1-3*4,3*0-2*1)=(8,-10,-2)
↑AD・(↑AB×↑AC)=(5,1,4)・(8,-10,-2)=40-10-8=22
よって、求める体積は22/6=11/3・・・答

お礼

ありがとうございました

回答No.1

j-mayol

１について
ＯＭ↑の成分表示が正解であるならば、
成分表示から　ｘ＝（３ｐ＋４ｐ＋１）/２、　ｙ＝（２ｐ＋ｑ）/２、　ｚ＝（２ｐ＋４）/２

y= の式をｑについて解き　ｘ＝の式に代入
ｚ＝の式をｐについて解き　ｘ＝の式に代入
これによりｐ、ｑが消去されＭの軌跡を示す　ｘｙｚの関係式が導き出される。

お礼

ありがとうございました