ベクトルの問題なんですが・・

質問

（１）a=(a_1,a_2)が次の条件（※）を満たすとき、点（a_1,a_2)の存在範囲を図示せよ。
（※）あるベクトルb=(b_1,b_2)が存在して、（a・p)^2＋（b・p)^2=｜ｐ｜＾2が任意のベクトルｐに対して成り立つ。
（２）（１）でもとめたa=(a_1,a_2)に対して、条件（※）にあるベクトルb=(b_1,b_2)を求めよ。
難しくて解けません。誰か解けますか？
a,b,pにはベクトル記号がつきます。
(1)は簡単に書いてくれるとうれしいです。

回答No.6

178-tall · ベストアンサー

錯誤の訂正。

p1p2 の係数 a1a2 + b1b2 = 0 は a, b の直交条件。
　a1/b1 = -b2/a1 = k
と変形して (#) へ代入すると、
　a1^2 = k^2/(1+k^2),　a2^2 = 1/(1+k^2)
　b1^2 = 1/(1+k^2),　b2^2 = k^2/(1+k^2) 。
したがって、
　a1^2 + a2^2 = b1^2 + b2^2 = 1

回答No.5

178-tall

無反応のスキに乗じて、要らざる蛇足…？

>任意の p = (p1, p2) に対し、
>　(a・p)^2 = (a1p1)^2 + (a2p2)^2 + 2a1a2p1p2
>　(b・p)^2 = (b1p1)^2 + (b2p2)^2 + 2b1b2p1p2
>の和が p1^2 + p2^2 となるなら、
>　a1^2 + a2^2 = b1^2 + b2^2 = 1　かつ　a1a2 + b1b2 = 0　なのだろう。

まず、p1^2, p2^2 の係数 = 1 から、
　a1^2 + b1^2 = a2^2 + b2^2 = 1　　…(#)

p1p2 の係数 a1a2 + b1b2 = 0 は a, b の直交条件。
　a1/b1 = -b2/a1 = k
と変形して (#) へ代入すると、
　a1 = k/√(1+k^2),　a2 = 1/√(1+k^2)
　b1 = 1/√(1+k^2),　b2 = -k/√(1+k^2) 。
したがって、
　a1^2 + a2^2 = b1^2 + b2^2 = 1
という成り行き。

回答No.4

178-tall

いくらなんでも、長短の落差が目立ちました。#2 へのヒントらしき蛇足でも。

任意の p = (p1, p2) に対し、
　(a・p)^2 = (a1p1)^2 + (a2p2)^2 + 2a1a2p1p2
　(b・p)^2 = (b1p1)^2 + (b2p2)^2 + 2b1b2p1p2
の和が p1^2 + p2^2 となるなら、
　a1^2 + a2^2 = b1^2 + b2^2 = 1　かつ　a1a2 + b1b2 = 0
なのだろう。

回答No.3

ereserve67

（１）（２）まとめて解きます．

※(a・p)^2＋(b・p)^2=|ｐ|＾2

においてa=0と仮定する．

(b・p)^2=|p|^2

(b_1x+b_2y)^2=x^2+y^2

(b_1^2-1)x^2+2b_1b_2xy+(b_2^2-1)y^2=0

これはx,yについての恒等式であるから

b_1^2=b_2^2=1,b_1b_2=0

が成り立つ．b_1b_2=0からb_1=0またはb_2=0であるが，これはb_1^2=b_2^2=1に矛盾する．

よって

(1)a≠0である．

次に※の式においてとくにp=bとしても成り立つはずであるから

(a・b)^2+(b・b)^2=|b|^2

a・b=a_1b_1+a_2b_2=0

(1)からb≠0のときb⊥aである．よって

b=k(a_2,-a_1)(kは実数)

とおける．b=0のときはk=0とする．これを※に代入すると，p=(x,y)として

(a_1x+a_2y)^2+(ka_2x-ka_1y)^2=x^2+y^2

(a_1^2+k^2a_2^2-1)x^2+2(1-k^2)a_1a_2xy+(a_2^2+k^2a_1^2-1)y^2=0

これがx,yの恒等式であるから，xyの係数が0からk^2=1．これをx^2,y^2の係数が0の等式に代入すると

a_1^2+a_2^2=1

つまり

|a|=1,b=±(a_2,-a_1)（答）

・点(a_1,a_2)の存在範囲は原点中心半径1の円周である．（図略）
・bはaに垂直な単位ベクトル（互いに逆ベクトルな2つ）

回答No.2

178-tall

>(1)は簡単に書いて…

一例。
a が単位長 (終点が単位円上) で、b がそれに直交する単位長、の場合。

回答No.1

naniwacchi

内積の計算はベクトルの計算ですが、
そのほかは座標の問題と考えればよいかと。