• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

ベクトルの問題で分らないのがあるので教えてください

※a→は「aベクトル」という意味です。 (1)△OABがあります。点Pが次のベクトル方程式を満たすとき、点Pの描く図形を求めてください。ただし、OA→=a→、OB→=b→、OP→=p→とします。(途中式もお願いします。) (1)|2p→-a→-b→|=4 (2)(p→-a→)・(p→-b→)=0 (2)空間内に4点A(0、1、2)、B(1、0、-1)、C(-1、1、4)、D(x、y、z)があります。 4点A、B、C、Dが同一平面上にあるとき、x、y、zの関係式を求めてください。(途中式もお願いします。) ちなみに答えは、 (1)(1)線分ABの中点を中心とする半径2の円 (2)線分ABを直径とする円 (2)2x-y+z-1=0 です。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

※a→は「aベクトル」という意味です。 (1)△OABがあります。点Pが次のベクトル方程式を満たすとき、点Pの描く図形を求めてください。ただし、 >OA→=a→、OB→=b→、OP→=p→とします。 >(1)|2p→-a→-b→|=4 2|p-(1/2)(a+b)|=4より、 |p-(1/2)(a+b)|=2だから、ベクトル(1/2)(a+b)の表す点が中心 よって、中心がABの中点で、半径2の円 >(2)(p→-a→)・(p→-b→)=0 (p-a)・(p-b) =|P|^2-(p・a+p・b)+a・b =|p|^2-(p・(a+b))+a・b ={|p|^2-(p・(a+b))+(1/4)|a+b|^2}-(1/4)|a+b|^2+a・b=0 |p-(1/2)(a+b)|^2=(1/4)|a+b|^2-a・b 右辺=(1/4){|a|^2+2(a・b)+|b|^2-4(a・b)} =(1/4){|a|^2-2(a・b)+|b|^2} =(1/4)|a-b|^2 =|(1/2)(a-b)|^2 よって、|p-(1/2)(a+b)|=|(1/2)(a-b)|だから、 中心がABの中点(直径がAB)で、半径が|(1/2)(a-b)|の円 >(2)空間内に4点A(0、1、2)、B(1、0、-1)、C(-1、1、4)、D(x、y、z)があります。 >4点A、B、C、Dが同一平面上にあるとき、x、y、zの関係式を求めてください。 4点がある平面をax+by+cz+d=0とおく。 Aを通るから、b+2c+d=0より、b=-2c-d Bを通るから、a-c+d=0より、a=c-d Cを通るから、-a+b+4c+d=0 に上のb,aを代入して整理すると、 c=-d,これから、a=-2d,b=d よって、a:b:c:d=-2:1:-1:1から、 法線ベクトルは、(-2,1,-1)  このような平面は、-2x+y-z+1=0より、 Dもこの平面上の点だから、x、y、zの関係式は、 2x-y+z-1=0  

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • ベクトルの問題です。

    平面上に三角形OABがあり、OAベクトル=aベクトル,OBベクトル=bベクトルとおくとき、|aベクトル|=2,|bベクトル|=1,aベクトル・bベクトル=1/2である。 辺ABの3等分点のうち、Aに近い方をC,Bに近い方をDとし、2点P,QをOPベクトル=xOCベクトル,OQベクトル=yODベクトル(x>0,y>0)によって定める。 (1)OCベクトル,ODベクトルをaベクトル,bベクトルでそれぞれ表せ。 (2)三角形OPQの重心Gが辺AB上にあるとき、yをxで表せ。 (3)(2)のとき、線分PQの長さを最小とするx,yの値を求めよ。 (1)と(2)は解くことが出来ましたが、(3)が解くことが出来ません。 どなたかお願いします。 (1)はOCベクトル=2aベクトル+bベクトル/3 ODベクトル=aベクトル+2bベクトル/3 (2)はy=3-xです

  • ベクトルの問題についてです。

    xyz平面において、平面の式をx+2y+3z=6としし、点X(1.1.1)が存在し、 平面とx,y,z軸との交点をそれぞれA、B、Cとする。 ある点、D(p.q.r)が平面上にある時、 ODベクトル=OAベクトル+t1ABベクトル+t2ACベクトル となる実数t1とt2が存在することを示せ。 一応これが問題なのですが、私にはさっぱりわかりません・・ どなたか回答をお願いします。

  • ベクトルの問題

    平面上に三角形OABがあり、OAベクトル=aベクトル,OBベクトル=bベクトルとおくとき、|aベクトル|=2,|bベクトル|=1,aベクトル・bベクトル=1/2である。 辺ABの3等分点のうち、Aに近い方をC,Bに近い方をDとし、2点P,QをOPベクトル=xOCベクトル,OQベクトル=yODベクトル(x>0,y>0)によって定める。 (1)OCベクトル,ODベクトルをaベクトル,bベクトルでそれぞれ表せ。 (2)三角形OPQの重心Gが辺AB上にあるとき、yをxで表せ。 (3)(2)のとき、線分PQの長さを最小とするx,yの値を求めよ。 (1)と(2)は解くことが出来ましたが、(3)が解くことが出来ません。 どなたかお願いします。 (1)はOCベクトル=2aベクトル+bベクトル/3 ODベクトル=aベクトル+2bベクトル/3 (2)はy=3-xです (3) PQベクトル=aベクトル/3(y-2x)+bベクトル/3(2y-x) y=3-xを代入すると PQベクトル=aベクトル(-x+1)+bベクトル(-x+2)となり |PQベクトル|^2=|aベクトル(-x+1)+bベクトル(-x+2)|^2 |PQベクトル|^2=7x^2-15x+10となります。 私の計算ミスかもしれませんがこの後はどうしたらいいのでしょうか?

  • 高校数学の平面ベクトルの問題

    平面上に三角形OABがあり、OAベクトル=aベクトル,OBベクトル=bベクトルとおくとき、|aベクトル|=2,|bベクトル|=1,aベクトル・bベクトル=1/2である。 辺ABの3等分点のうち、Aに近い方をC,Bに近い方をDとし、2点P,QをOPベクトル=xOCベクトル,OQベクトル=yODベクトル(x>0,y>0)によって定める。 (1)OCベクトル,ODベクトルをaベクトル,bベクトルでそれぞれ表せ。 (2)三角形OPQの重心Gが辺AB上にあるとき、yをxで表せ。 (3)(2)のとき、線分PQの長さを最小とするx,yの値を求めよ。 (1)は解けましたが、(2)と(3)がわかりません。 (1)の解答はOCベクトル=2aベクトル+bベクトル/3、ODベクトル=aベクトル+2bベクトル/3です。 ベクトルに詳しい方、どうかよろしくお願いします。

  • ベクトルの問題です 

    空間において、二点P.Qは直線l;2x=y=zと直角に交わる直線上あって、直線PQはlによって常に1:2の比に内分されているとする。Pが平面5x+2y-z=1の上を動くとき、Qが描く図形の方程式を求めよ。 解答 直線l;2x=y=zの方向ベクトルはl→=(1.2.2)である。 ア.P(x、y、z)、Q(X,Y,Z)とするとき PQ→がl→に垂直であるから、 l→・PQ→=(X-x)+2(Y-y)+2(Z-z)=0 ..(A) イ.線分PQを1:2に内分する点Rは ( (2x+X)/3 , (2y+Y)/3 , (2z+Z)/3 ) であり、これがl上にあるから 2(2x+X)=2y+Y=2z+Z.......(B) ウ.Pは平面 5x+2y-z=1上にあるから 5x+2y-z=1......(C) 以上からx、y、zを消去すればよい。 (B)から y=2x+X-Y/2、z=2x+X-Z/2 これは(A)、(C)に代入して整理すると、それぞれ -3x-X+Y+Z=0 .....(D) 14x+2X-2Y+Z=2 ......(E) D×14+E×3    -8X+8Y+17Z=6 よって、点Q(X,Y,Z)のえがく図形は、平面 8x-8y-17z+6=0 である。 質問1:直線l;2x=y=zの方向ベクトルがなぜ、(1.2.2)なのですか?確か係数の部分が方向ベクトルに成ると学んだ気がするのですが、そうすると(2.1.1)と考えましたけど>_<?? 質問2:線分PQを1:2に内分する点Rは2x+X/3 etc.. となってましたが、分母が3になるのは、1:2で3と見てるからだと思いますが、なぜ分子が2x+Xetc..となってるのでしょうか? どなたか教えてください、宜しくお願いします!!

  • ベクトルの問題です

    四面体OABCにおいて、OA=OB=OC=3、AB=BC=CA=√6である。 また、点Pは辺ABをx:1-xに内分し、点Qは辺OCをy:1-yに内分する。(0<x<1、0<y<1) OAベクトル=aベクトル、OBベクトル=bベクトル、OCベクトル=cベクトルとして次の問いに答えよ。 (1)内積a・bベクトルを求めよ (2)PQベクトルをaベクトル、bベクトル、cベクトル、x、yで表せ (3)2点P、Q間の距離PQの最小値と、そのときのx、yの値を求めよ (1)は、余弦定理を使ってcos∠AOBが2/3からa・bベクトルが6とだすことが出来ました。 (2)から分かりません。 出来れば詳しい解説をよろしくお願いします。

  • 数学Bの空間ベクトルの問題です

    ○A(0,1,-2)B(2,3,-2)C(0,3,0)とDを頂点とする正四面体ABCDの頂点Dの座標を求めよ。 ○3点A(1,1,-1)B(0,3,-3)C(-1,2,1)から等距離にある点P(x,y,z)についてy,zをxで表わせ。 また、線分APの長さの最小値と、そのときの点Pの座標を求めよ。 この2問が何度やっても解けません。 お願いします。

  • 楕円面上の法線ベクトル

    楕円面 F(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 -1 = 0 (a)楕円面上の点 P0 = (x0,y0,z0) における法線方向を指すベクトルを求めよ。 (b)P0における法線上の任意の点を P = (x,y,z) とすると、線分P0Pは(a)で求めたベクトルと平行である。このことを用いて、楕円面のP0を通る法線の方程式を求めよ。 (c)P0における接平面上の任意の点を P = (x,y,z) とすると、線分P0Pは(a)で求めたベクトルと垂直である。このことを用いて、楕円面のP0を通る法接平面の方程式を求めよ。 自分なりに考えた解答があっているかを教えていただきたいです----- (a)原点 O = (0,0,0) から楕円面上の点 P0 = (x0,y0,z0) に伸ばしたベクトルは、当然 点P0の接平面 に垂直なので 法線ベクトル →P0 = (x0,y0,z0) (b) →P0P = (x,y,z) - (x0,y0,z0) = (x-x0,y-y0,z-z0) これに平行なので (x-x0)/x0 = (y-y0)/y0 = (z-z0)/z0 (c) →P0P = (x,y,z) - (x0,y0,z0) = (x-x0,y-y0,z-z0) これに垂直なので内積がゼロ、よって x0(x-x0)+y0(y-y0)+z0(z-z0) = 0 ----- 特に(b)はあっていますか? よろしくおねがいします。

  • ベクトルの問題です

    空間の点Pから平面x+y-z=0に垂線を下し、その足をMとしPMの延長上にPM=MQとなる点Qをとる。 点Pが直線x=y+1=z-1の上を動くとき、点Qの描く図形の方程式を求めよ <教科書の回答> P(x、y、z)、 Q(X.Y,Z)とおくと Pは直線上の点であるから x=y+1=z-1 。。。。。(A) PQ→は平面の法泉ベクトルの一つだから、 (X-x、Y-y、Z-z)=K(1,1、-1)。。。(B) PQの中点( (X+x) / 2 , (Y+y)/2、 (Z+z) /2 )が平面上にあるから、 (X+x) /2 + (Y + y) /2 (-Z+z) /2 =0 ∴X+Y-Z+x+y-z=0。。。。。(C) (A)(B)(C)からx、y、z、kを消去すれば良い X,Y,Zをx、y、zに書き換えて x=y+1=(z+7)/5 質問です、 法線ベクトルについては理解してるつもりですので、 Bについては理解できました。 Aでは、Pは直線状の点、 Bでは、PQが垂線なので、法線ベクトルでもいいではないか?と考えて、x+y-zの法線ベクトルを1.1.-1とおいて外にKを置けば =(X-x、Y-y,Z-z)のイコールの関係になるのはわかりました。 Cは、PQの中点の公式より、中点の座標を求めてます。 その後、なぜだか?X+x/2 + Y+y/2 ーZ+z/2 =0とzの項ではマイナスとなっていて、(たぶんx+y-z=0に代入したと思うのですが) そこから得たこのCとは何か不明です、またなぜPQの中点をx+y-zに 代入する必要があるのですか?>_<?? 最後は なぜ、この題意の点Pが直線x=y+1=z-1 の上を動くとき点Qの描く図形の方程式を求める際に、 このA,B,Cを使って、消去すれば題意の求めてる回答が得られるのでしょうか??なぜ、これらをあわせると回答が得られるのかわかりませんでした。 どなたか教えて下さい、宜しくお願いします!!>_<!!

  • ベクトルの問題です。(2)

    ベクトルの問題です。(2) 何度も質問させていただき、申し訳ありません… 空間に四点A(-2,0,0)B(0,2,0)C(0,0,2)D(2,-1,0)がある。 三点A,B,Cを含む平面をTとする。 1、点Dから平面Tに下ろした垂線の足Hの座標を求めよ。 2、平面Tにおいて、三点A、B、Cを通る円Sの中心の座標と半径を求めよ。 3、点Pが円Sの周上を動くとき、線分DPの長さが最小になるPの座標を求めよ。 という問題で、2から分からなくなってしまいました。 S(x,y,z)という様においてみたのですが、どうもうまくいきません… ヒントだけでも教えて頂けたら幸いです。宜しくお願いします。