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組合せの計算
Tofu-Yoの回答
- Tofu-Yo
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他の回答者さんからあったとおり(n-1)Cr+(n-1)C(r-1)=nCr…(1)の間違いだと思います。 こういう証明では、「どういう式を示せれば目的のものが示せるか」、をゴール(結論)から逆算してみるのも1つの手です。天下り式ですが効果的です。 (1)を定義に従って階乗を用いて分数表示したあと、左右辺の分母を払ってみてください。 (n-1)!・(n-r)+(n-1)!・r=n! を示せればよいことがわかりますね。これは簡単なのですぐにできます。あとは逆を辿ることによって(1)を示せますね。 蛇足ですが直観的な意味は、次の通り。 30人のクラスにあなたがいて、 「30人から5人の委員を決めるとしたら何通りの決め方があるか」 を考えていたとします。 これは30C5だな、とわかり、計算し終えたときに、転校生が1人来てしまいます。結局 「31人から5人の委員を決めるとしたら何通りの決め方があるか」 を考えなければいけなくなりました。30C5の計算を破棄して31C5を計算するのも一つの手ですが、このときに 「30C5からどれだけ増えるのか」 を考え、30C5に合算することを考えてみましょう。1人増えた転校生は、もともといた30人のうちどの4人とも新しい5人の組み合わせを作ることができます。したがって増えるのは「30C4」ということになります。このことはつまり、 30C5+30C4=31C5 ということを表しています。
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