数学のベクトルの問題です。

質問

Oを頂点とし、平行四辺形ABCDを底面とする四角錐O-ABCDがある。
辺OAの中点をP、辺OBを２：１に内分する点をQとし、直線OC上にOR=kOC
となる点Rをとる。ただし、Kは実数の定数である。（ベクトルは省略させてください）

（１）直線DQと直線PRが交わるとき、Kの値を求めよ。

（２）直線ODと平面PQRが平行であるとき、Kの値を求めよ。

回答No.3

ferien · ベストアンサー

＞Oを頂点とし、平行四辺形ABCDを底面とする四角錐O-ABCDがある。
＞ 辺OAの中点をP、辺OBを２：１に内分する点をQとし、直線OC上にOR=kOC
＞ となる点Rをとる。ただし、Kは実数の定数である。（ベクトルは省略させてください）
OP＝(1/2)OA，OQ＝(2/3)OB，OR＝kOC
平行四辺形ABCDだから、AB＝DCより、OB－OA＝OC－OD　だから、OD＝OA＋OC－OB

＞（１）直線DQと直線PRが交わるとき、Kの値を求めよ。
DQとPRの交点をEとする。
△OACで、PE:ER＝ｓ:1-sとすると、
OE＝(1-s)OP＋sOR＝(1-s)・(1/2)OA＋s・kOC
＝(1/2)(1-s)OA＋ksOC　……(1)
△OBDで、QE：ED＝t：1-tとすると、
OE＝(1-t)OQ＋tOD＝(1-t)・(2/3)OB＋tOD
＝(2/3)(1-t)OB＋t(OA＋OC－OB）
＝tOA＋{(2/3)－(5/3)t}OB＋tOC　……(2)
(1)(2)より、係数比較すると、
(1/2)－(1/2)s＝t，(2/3)－(5/3)t＝0，ks＝t
連立で解くと、
t＝2/5，s＝1/5，k＝2
よって、k＝2

＞（２）直線ODと平面PQRが平行であるとき、Kの値を求めよ。
平面PQRから、P,Q,Rは一直線上にないから、Rは直線PQ上にない。
直線PQ上の１点をFとすると、
直線RFは、平面PQR上の直線だから、直線RFが直線ODと平行であれば、
直線ODと平面PQRは平行である。
RF＝mODとおくと、
OF－OR＝m(OA＋OC－OB)
OF＝kOC＋mOA＋mOC－mOB
＝mOA－mOB＋(k+m)OC　……(3)

点Fは、直線PQ上の点だから、
PF：FQ＝n：1-nとすると、
OF＝(1-n)OP＋nOQ＝(1-n)・(1/2)OA＋n・(2/3)OB
＝(1/2)(1-n)OA＋(2/3)nOB　……(4)
(3)(4)より、係数比較すると、
m＝(1/2)－(1/2)n，-m＝(2/3)n，k＋m＝0
連立で解くと、
m＝2，n＝-3，k＝-2
よって、k＝-2

でどうでしょうか？　確認してみてください。

お礼

ありがとうございます！
助かりました。

説明、分かりやすかったです！