数列、余剰定理、極限

質問

a_1=2
a_n={a_(n-1)}^(n+1)
としたとき、
a_n (mod n+2) (n→∞)
は収束するか？(条件分けして解決するならば、それも収束としてください)
収束するとしたら極限値はいくらか？

わかる方、解答を願います。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

「条件分けして解決する」の意味は分かりませんが, 普通の意味の極限でいいなら収束しません.

というか, この場合出てくる数値はすべて整数だから普通の意味では
「収束する」=「有限個の n を除いてすべて同じ値になる」
ってことになるよね. で, そんなことがあり得ないのはほぼ自明.

お礼

確かに、収束はしません。

質問したあとに気づいたんですが、法則性を見つける事は可能そうです。
たとえば、n+2=2^x+2(1+2y)の場合には、(n+2)/2+1となりそうです。

奇数の場合には、フェルマーの小定理により1。2^xの場合には0。残りはn+2=2^x+4yとなる場合なんですが、どのように表されますでしょうか？

回答No.4

Tacosan

あ～, #2 と全く同じなので省略しちゃいましたが, n+2 = 2^k m と分解するところは k≧0 かつ m は奇数です.

で終わるとアホなので n+2 が奇数のときを考えてみましたが, オイラーの定理やら中国剰余定理やらを使えばよさそうです. 結論は「剰余は 1」.

n+2 が偶数のときも中国剰余定理から #3 まではたどりつくんだけど.... もうちょっときれいにならんもんかなぁ....

お礼

ちょっと意図する事がうまく伝わっていないと思うので、一回閉めます。
もう一度質問立てるので、そちらに解答をお願いします。

回答No.3

Tacosan

あ, 嘘書いた. n+2 = 2^k m と分解するところまではあってるけど, そのあとがおかしい.

m ≠ 1 のときは「m で割って余りが 1 になるような 2^k の倍数」か?

お礼

n+2が奇数で、2^k mは偶数となってしまいますが…

補足

あ、よく考えたら質問文の書き方間違えてました。
式の書き方によって意図する事が変わってしまったので、また質問し直します。

回答No.2

Tacosan

n+2 が奇数のときも, 合成数かもしれないので単純に「フェルマーの定理」というわけにはいかないですよ. 結果的には 1 だと思いますが.

で「単純に『フェルマーの定理』というわけにはいかない」ことから
n+2 = 2^k m, k は非負整数かつ m は奇数
と分解すれば剰余は
m=1 なら 0, そうでなければ 2^k
になりませんか?

お礼

ご回答ありがとうございます。

あ、そうか。フェルマーの小定理は素数でないといけなかったですね。
もうちょっと考えて見て見ます。